問題6: $\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。ただし、$\theta$ は鈍角である。 問題7: (1) $\triangle ABC$ において、$b=3$, $c=4$, $A=120^\circ$ のとき、面積$S$を求める。 (2) $\triangle ABC$ において、$b=2\sqrt{2}$, $c=2$, $A=135^\circ$ のとき、$a$の値を求める。 問題8:$\triangle ABC$で、頂点Bから対辺CAに垂線BHを引く。$\triangle AHB$で$BH = $ [ア]となる。一方$\triangle CHB$ で $BH = a \sin C$となる。 この式はどちらもBHの長さを表しているから、 [ア]$= a \sin C$となる。 この式の両辺をsinAxsin Cでわると、 [イ] = [ウ]となる。

1. 問題の内容

問題6: $\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。ただし、$\theta$ は鈍角である。

問題7:

(1) $\triangle ABC$ において、$b=3$, $c=4$, $A=120^\circ$ のとき、面積$S$を求める。

(2) $\triangle ABC$ において、$b=2\sqrt{2}$, $c=2$, $A=135^\circ$ のとき、$a$の値を求める。

問題8:$\triangle ABC$で、頂点Bから対辺CAに垂線BHを引く。$\triangle AHB$で$BH =$ [ア]となる。一方$\triangle CHB$ で $BH = a \sin C$となる。 この式はどちらもBHの長さを表しているから、 [ア]$= a \sin C$となる。 この式の両辺をsinAxsin Cでわると、 [イ] = [ウ]となる。

2. 解き方の手順

問題6:

* $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

* $\theta$ が鈍角なので、$\cos \theta < 0$。よって、$\cos \theta = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

* $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} \times (-\frac{3}{2\sqrt{2}}) = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

問題7:

(1) $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

(2) 余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2(2\sqrt{2})(2)\cos 135^\circ = 8 + 4 - 8\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 12 + 8 = 20$.

$a > 0$ より、$a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

問題8:

$\triangle AHB$で$BH = c \sin A$

与えられた条件より$c \sin A = a \sin C$

両辺を$\sin A \sin C$ で割ると、$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}$ となる。

3. 最終的な答え

問題6:

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

問題7:

(1) $S = 3\sqrt{3}$

(2) $a = 2\sqrt{5}$

問題8:

ア: $c \sin A$

イ: $\frac{c}{\sin C}$

ウ: $\frac{a}{\sin A}$