(1) 2次方程式 $x^2 + mx + n = 0$ の2つの解が $-2$ と $6$ であるとき、$m$ と $n$ の値を求める。 (2) 2次方程式 $x^2 - mx + 2n = 0$ の2つの解が $-3$ と $8$ であるとき、$m$ と $n$ の値を求める。 (3) 2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の解が $-1$ と $-3$ であるとき、2次方程式 $x^2 + bx - a = 0$ の解を求める。 (4) 2次方程式 $2x^2 + bx + c = 0$ の2つの解が $3$ と $-\frac{1}{2}$ であるとき、$b$ と $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 + mx + n = 0$ の2つの解が $-2$ と $6$ であるとき、$m$ と $n$ の値を求める。

(2) 2次方程式 $x^2 - mx + 2n = 0$ の2つの解が $-3$ と $8$ であるとき、$m$ と $n$ の値を求める。

(3) 2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の解が $-1$ と $-3$ であるとき、2次方程式 $x^2 + bx - a = 0$ の解を求める。

(4) 2次方程式 $2x^2 + bx + c = 0$ の2つの解が $3$ と $-\frac{1}{2}$ であるとき、$b$ と $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

解と係数の関係より、

$m = -(-2 + 6) = -4$

$n = -2 \times 6 = -12$

(2)

解と係数の関係より、

$m = -3 + 8 = 5$

$2n = -3 \times 8 = -24$

$n = -12$

(3)

解と係数の関係より、

$a = -(-1 - 3) = 4$

$b = -1 \times -3 = 3$

よって、2次方程式 $x^2 + bx - a = 0$ は $x^2 + 3x - 4 = 0$ となる。

$(x+4)(x-1) = 0$

$x = -4, 1$

(4)

解と係数の関係より、

$-\frac{b}{2} = 3 + (-\frac{1}{2}) = \frac{5}{2}$

$b = -5$

$\frac{c}{2} = 3 \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$

$c = -3$

3. 最終的な答え

(1) $m = -4$, $n = -12$

(2) $m = 5$, $n = -12$

(3) $x = -4, 1$

(4) $b = -5$, $c = -3$