$\tan \frac{\pi}{12}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\tan \frac{\pi}{12}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{\pi}{12}$ は、$\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ と表すことができます。つまり、 $\frac{\pi}{12} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ です。

$\tan$ の加法定理を利用して計算します。

$\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$

ここで、$A = \frac{\pi}{3}$ , $B = \frac{\pi}{4}$ とすると、$\tan A = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ , $\tan B = \tan \frac{\pi}{4} = 1$ となります。

よって、

$\tan \frac{\pi}{12} = \frac{\tan \frac{\pi}{3} - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \tan \frac{\pi}{3} \tan \frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

分母を有理化するために、分母分子に $(\sqrt{3} - 1)$ をかけます。

$\tan \frac{\pi}{12} = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2 - \sqrt{3}$

(1) 2

(2) 3