2次方程式 $x^2 + ax + 21 = 0$ の2つの解が負の整数であるとき、$a$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + ax + 21 = 0$ の2つの解が負の整数であるとき、$a$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、$\alpha < 0$ かつ $\beta < 0$ であり、$\alpha, \beta$ は整数である。

解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -a$$

$$\alpha \beta = 21$$

21の約数の組み合わせで積が21となる整数を考える。ただし、$\alpha$と$\beta$は負の整数なので、負の約数の組み合わせを考える。

21の約数は 1, 3, 7, 21 なので、負の組み合わせは (-1, -21), (-3, -7) の2組である。

(i) $(\alpha, \beta) = (-1, -21)$ のとき、

$\alpha + \beta = -1 + (-21) = -22$

$-a = -22$ より $a = 22$

(ii) $(\alpha, \beta) = (-3, -7)$ のとき、

$\alpha + \beta = -3 + (-7) = -10$

$-a = -10$ より $a = 10$

3. 最終的な答え

$a = 10, 22$