AC=BC=10cmの直角二等辺三角形ABCにおいて、点Pは点Aから辺AC上を毎秒2cmの速さで点Cへ、点Qは点Bから辺BC上を毎秒1cmの速さで点Cへ向かって移動する。点P, Qが同時にA, Bを出発するとき、四角形ABQPの面積が36cm$^2$となるのは、出発してから何秒後か。

1. 問題の内容

AC=BC=10cmの直角二等辺三角形ABCにおいて、点Pは点Aから辺AC上を毎秒2cmの速さで点Cへ、点Qは点Bから辺BC上を毎秒1cmの速さで点Cへ向かって移動する。点P, Qが同時にA, Bを出発するとき、四角形ABQPの面積が36cm$^2$となるのは、出発してから何秒後か。

2. 解き方の手順

出発してから$t$秒後のAP, BQの長さを考える。

APの長さは$2t$ cm、BQの長さは$t$ cmとなる。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50$ cm$^2$である。

三角形CPQの面積は、

$\frac{1}{2} \times CP \times CQ = \frac{1}{2} \times (10-2t) \times (10-t)$ cm$^2$となる。

四角形ABQPの面積は、三角形ABCの面積から三角形CPQの面積を引いたものなので、

$50 - \frac{1}{2} (10-2t)(10-t) = 36$

$\frac{1}{2} (10-2t)(10-t) = 50 - 36 = 14$

$(10-2t)(10-t) = 28$

$100 - 10t - 20t + 2t^2 = 28$

$2t^2 - 30t + 72 = 0$

$t^2 - 15t + 36 = 0$

$(t-3)(t-12) = 0$

$t=3, 12$

ただし、点Pは毎秒2cmでAC=10cmを進むので、5秒で点Cに到着する。また、点Qは毎秒1cmでBC=10cmを進むので、10秒で点Cに到着する。

よって、$t$の値は$0 < t \le 5$を満たす必要がある。

したがって、$t=3$となる。

3. 最終的な答え

3秒後