全体集合 $U$ の部分集合 $A = \{2, 6, a^2 + 3\}$ と $B = \{3, 7, a, a+4\}$ が与えられている。$A \cap B = \{2, 7\}$ であるとき、以下の問いに答える。 (1) 定数 $a$ の値を求める。 (2) $A \cup B$ を求める。 (3) $\overline{A} \cap B$ を求める。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A = \{2, 6, a^2 + 3\}$ と $B = \{3, 7, a, a+4\}$ が与えられている。$A \cap B = \{2, 7\}$ であるとき、以下の問いに答える。

(1) 定数 $a$ の値を求める。

(2) $A \cup B$ を求める。

(3) $\overline{A} \cap B$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B = \{2, 7\}$ であることから、$2 \in A$ かつ $7 \in A$ および $2 \in B$ かつ $7 \in B$ が成り立つ。

$A$ には $2$ が含まれているので、残りの要素は $6$ と $a^2+3$ である。

$B$ には $7$ が含まれているので、残りの要素は $3$, $a$, $a+4$ である。

$A \cap B = \{2, 7\}$ より、 $7 \in A$ である。

$A = \{2, 6, a^2+3\}$ であるから、$a^2+3 = 7$ または $6 = 7$ となる。$6 = 7$ は明らかに誤りなので、$a^2 + 3 = 7$ である。

$a^2 + 3 = 7$

$a^2 = 4$

$a = \pm 2$

$B = \{3, 7, a, a+4\}$ より、$2 \in B$ である。

$a = 2$ のとき、$B = \{3, 7, 2, 6\}$ となり、$2 \in B$ を満たす。

$a = -2$ のとき、$B = \{3, 7, -2, 2\}$ となり、$2 \in B$ を満たす。

$a = 2$ の場合、$A = \{2, 6, 7\}$、$B = \{3, 7, 2, 6\}$ より、$A \cap B = \{2, 6, 7\}$ となり、$A \cap B = \{2, 7\}$ に矛盾する。

$a = -2$ の場合、$A = \{2, 6, 7\}$、$B = \{3, 7, -2, 2\}$ より、$A \cap B = \{2, 7\}$ となる。

したがって、$a = -2$ である。

(2) $A \cup B$ を求める。

$a = -2$ のとき、$A = \{2, 6, 7\}$、$B = \{3, 7, -2, 2\}$ である。

$A \cup B = \{2, 6, 7, 3, -2\}$

順序を並び替えると、 $A \cup B = \{-2, 2, 3, 6, 7\}$ である。

(3) $\overline{A} \cap B$ を求める。

$\overline{A}$ は $U$ の中で $A$ に含まれない要素全体である。

$B$ は $\{3, 7, -2, 2\}$ である。

$\overline{A} \cap B$ は $B$ の中で $A$ に含まれない要素全体である。

$A = \{2, 6, 7\}$ であるから、$B$ の中で $2$, $6$, $7$ を除いた要素は $3$ と $-2$ である。

したがって、$\overline{A} \cap B = \{-2, 3\}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = -2$

(2) $A \cup B = \{-2, 2, 3, 6, 7\}$

(3) $\overline{A} \cap B = \{-2, 3\}$