ベクトル $\vec{a} = (3, -2)$ と $\vec{b} = (2, 1)$ について、以下の問いに答えます。 (1) $|\vec{a} + t\vec{b}|$ を $t$ で表します。 (2) $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値を求め、また、最小にする $t$ の値を求めます。 (3) (2)で求めた $t$ の値に対して、ベクトル $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ が垂直であることを示します。

## 問題6の解答

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, -2)$ と $\vec{b} = (2, 1)$ について、以下の問いに答えます。

(1) $|\vec{a} + t\vec{b}|$ を $t$ で表します。

(2) $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値を求め、また、最小にする $t$ の値を求めます。

(3) (2)で求めた $t$ の値に対して、ベクトル $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ が垂直であることを示します。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a} + t\vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} + t\vec{b} = (3, -2) + t(2, 1) = (3 + 2t, -2 + t)$

次に、 $|\vec{a} + t\vec{b}|$ を計算します。

$|\vec{a} + t\vec{b}| = \sqrt{(3 + 2t)^2 + (-2 + t)^2} = \sqrt{9 + 12t + 4t^2 + 4 - 4t + t^2} = \sqrt{5t^2 + 8t + 13}$

(2) $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値を求めます。$\sqrt{5t^2 + 8t + 13}$ が最小となる $t$ を求めれば良いので、 $f(t) = 5t^2 + 8t + 13$ を最小化します。

$f(t)$ を平方完成します。

$f(t) = 5(t^2 + \frac{8}{5}t) + 13 = 5(t^2 + \frac{8}{5}t + (\frac{4}{5})^2) - 5(\frac{4}{5})^2 + 13 = 5(t + \frac{4}{5})^2 - \frac{16}{5} + 13 = 5(t + \frac{4}{5})^2 + \frac{65 - 16}{5} = 5(t + \frac{4}{5})^2 + \frac{49}{5}$

$f(t)$ は $t = -\frac{4}{5}$ のとき最小値 $\frac{49}{5}$ を取ります。

したがって、 $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値は $\sqrt{\frac{49}{5}} = \frac{7}{\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{5}$ であり、このとき $t = -\frac{4}{5}$ です。

(3) $t = -\frac{4}{5}$ のとき、$\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ が垂直であることを示します。

$\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ が垂直であるとは、$(\vec{a} + t\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ であることを意味します。

$t = -\frac{4}{5}$ のとき、$\vec{a} + t\vec{b} = (3 + 2(-\frac{4}{5}), -2 + (-\frac{4}{5})) = (3 - \frac{8}{5}, -2 - \frac{4}{5}) = (\frac{15 - 8}{5}, \frac{-10 - 4}{5}) = (\frac{7}{5}, -\frac{14}{5})$

$(\vec{a} + t\vec{b}) \cdot \vec{b} = (\frac{7}{5}, -\frac{14}{5}) \cdot (2, 1) = \frac{7}{5}(2) - \frac{14}{5}(1) = \frac{14}{5} - \frac{14}{5} = 0$

よって、ベクトル $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ は垂直であることが示されました。

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{a} + t\vec{b}| = \sqrt{5t^2 + 8t + 13}$

(2) 最小値: $\frac{7\sqrt{5}}{5}$ , $t = -\frac{4}{5}$

(3) $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ は垂直であることが示された。