曲線 $y = f(x) = 2x^2 - \frac{1}{2}$ ($\frac{1}{2} \leq x \leq 2$) を $y$ 軸の周りに1回転させてできる曲面の形をした容器があります。この容器に空の状態から毎秒 $\pi$ の割合で水を注ぎます。水を注ぎ始めてから5秒後の状態について、以下の問いに答えます。 (1) 水面の底面からの高さを求めます。 (2) 水面の上昇速度を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = f(x) = 2x^2 - \frac{1}{2}$ ($\frac{1}{2} \leq x \leq 2$) を $y$ 軸の周りに1回転させてできる曲面の形をした容器があります。この容器に空の状態から毎秒 $\pi$ の割合で水を注ぎます。水を注ぎ始めてから5秒後の状態について、以下の問いに答えます。

(1) 水面の底面からの高さを求めます。

(2) 水面の上昇速度を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 5秒後に容器に入っている水の体積は $5\pi$ です。

水面の高さを $h$ とすると、その時の水面の $x$ 座標は、$y=h$ を満たす $x$ の値なので、$h = 2x^2 - \frac{1}{2}$ より、$x^2 = \frac{h + \frac{1}{2}}{2}$ となります。従って、$x = \sqrt{\frac{h + \frac{1}{2}}{2}}$ です。

体積 $V$ は、回転体の体積の公式から、

$$V = \int_{-\frac{1}{2}}^{h} \pi x^2 dy = \int_{-\frac{1}{2}}^{h} \pi \frac{y+\frac{1}{2}}{2} dy = \frac{\pi}{2} \int_{-\frac{1}{2}}^{h} (y+\frac{1}{2}) dy$$

$$V = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{y^2}{2} + \frac{1}{2} y \right]_{-\frac{1}{2}}^{h} = \frac{\pi}{2} \left( \frac{h^2}{2} + \frac{h}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \right) = \frac{\pi}{2} \left( \frac{h^2}{2} + \frac{h}{2} + \frac{1}{8} \right)$$

$V = 5\pi$ なので、

$5\pi = \frac{\pi}{2} \left( \frac{h^2}{2} + \frac{h}{2} + \frac{1}{8} \right)$

$10 = \frac{h^2}{2} + \frac{h}{2} + \frac{1}{8}$

$80 = 4h^2 + 4h + 1$

$4h^2 + 4h - 79 = 0$

$h = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 4 \cdot 79}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 1264}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{1280}}{8} = \frac{-4 \pm 16\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm 4\sqrt{5}}{2}$

$h$ は正なので、$h = \frac{-1 + 4\sqrt{5}}{2}$

(2) $V = \pi \int_{1/2}^x x^2 dy = \pi \int_{1/2}^x \frac{y+1/2}{2} dy$. $\frac{dV}{dt} = \pi$ なので、$\frac{dV}{dh} \frac{dh}{dt} = \pi$ より、$\frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{\frac{dV}{dh}}$. $\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{2}(h+1/2)$, よって$\frac{dh}{dt} = \frac{2}{h+1/2} = \frac{2}{\frac{-1+4\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}} = \frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$.

3. 最終的な答え

(1) 水面の底面からの高さ: $\frac{-1+4\sqrt{5}}{2}$

(2) 水面の上昇速度: $\frac{1}{\sqrt{5}}$