三角形ABCにおいて、AB=4、AC=5、∠BAC=60°である。辺BCをt:(1-t)に内分する点をPとするとき、AP⊥BCとなるようなtの値を求めよ。

##

7. の問題

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=4、AC=5、∠BAC=60°である。辺BCをt:(1-t)に内分する点をPとするとき、AP⊥BCとなるようなtの値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AP}$と$\vec{BC}$を、$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を用いて表す。

$\vec{AP} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AC}$

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$

AP⊥BCなので、$\vec{AP} \cdot \vec{BC} = 0$

((1-t)$\vec{AB}$ + t$\vec{AC}$) $\cdot$ ($\vec{AC}$ - $\vec{AB}$) = 0

(1-t)($\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ - $|\vec{AB}|^2$) + t($|\vec{AC}|^2$ - $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$) = 0

ここで、$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}||\vec{AC}| \cos{60^\circ} = 4 \times 5 \times \frac{1}{2} = 10$

なので、

(1-t)(10 - 4^2) + t(5^2 - 10) = 0

(1-t)(-6) + t(15) = 0

-6 + 6t + 15t = 0

21t = 6

t = $\frac{6}{21} = \frac{2}{7}$

3. 最終的な答え

$t = \frac{2}{7}$