定義域 $0 \le x \le 2$ を持つ関数 $f(x)$ が以下のように定義されている。 $f(x) = \begin{cases} 0 & (0 \le x \le \frac{1}{2}) \\ 2x^2 - \frac{1}{2} & (\frac{1}{2} \le x \le 2) \end{cases}$ この関数 $y = f(x)$ を $y$ 軸の周りに回転させてできる容器に、毎秒 $\pi$ の割合で水を注ぐ。水を注ぎ始めてから5秒後の状態について、 (1) 水面の底面からの高さを求めよ。 (2) 水面の上昇速度を求めよ。

1. 問題の内容

定義域 $0 \le x \le 2$ を持つ関数 $f(x)$ が以下のように定義されている。

$f(x) = \begin{cases} 0 & (0 \le x \le \frac{1}{2}) \\ 2x^2 - \frac{1}{2} & (\frac{1}{2} \le x \le 2) \end{cases}$

この関数 $y = f(x)$ を $y$ 軸の周りに回転させてできる容器に、毎秒 $\pi$ の割合で水を注ぐ。水を注ぎ始めてから5秒後の状態について、

(1) 水面の底面からの高さを求めよ。

(2) 水面の上昇速度を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 水面の底面からの高さ：

5秒後に注がれた水の量は $5\pi$ である。

まず、$0 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲では $f(x) = 0$ であるから、この部分の体積は0である。

$\frac{1}{2} \le x \le 2$ の範囲で、水の高さ $h$ が $0 \le h \le f(2) = 2(2^2) - \frac{1}{2} = 8 - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$ の範囲にあるとする。

$y = 2x^2 - \frac{1}{2}$ より、$x^2 = \frac{y + \frac{1}{2}}{2} = \frac{2y + 1}{4}$ である。したがって、$x = \frac{\sqrt{2y+1}}{2}$ となる。

回転体の体積は、

$V = \int_0^h \pi x^2 dy = \int_0^h \pi \frac{2y+1}{4} dy = \frac{\pi}{4} \int_0^h (2y+1) dy = \frac{\pi}{4} [y^2 + y]_0^h = \frac{\pi}{4} (h^2 + h)$

水の量が $5\pi$ であるから、

$\frac{\pi}{4} (h^2 + h) = 5\pi$

$h^2 + h = 20$

$h^2 + h - 20 = 0$

$(h+5)(h-4) = 0$

$h = -5$ または $h = 4$

$h > 0$ より、$h = 4$。

これは $f(\frac{1}{2}) = 0$ から $f(2) = \frac{15}{2}$ の範囲に収まる。

(2) 水面の上昇速度：

体積 $V$ と高さ $h$ の関係は、$V = \frac{\pi}{4}(h^2 + h)$ である。

両辺を時間 $t$ で微分すると、

$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{4}(2h + 1) \frac{dh}{dt}$

毎秒 $\pi$ の割合で水を注いでいるので、$\frac{dV}{dt} = \pi$ である。

したがって、$\pi = \frac{\pi}{4}(2h + 1) \frac{dh}{dt}$

$\frac{dh}{dt} = \frac{4}{2h+1}$

$h = 4$ のとき、$\frac{dh}{dt} = \frac{4}{2(4)+1} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

(1) 水面の底面からの高さ：4

(2) 水面の上昇速度：$\frac{4}{9}$