直線 $l: y = 1$ に接し、円 $C: x^2 + y^2 = 4$ に内接する円 $D$ の中心 $P$ の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = 1$ に接し、円 $C: x^2 + y^2 = 4$ に内接する円 $D$ の中心 $P$ の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

円 $C$ の中心は原点 $O(0, 0)$ であり、半径は $2$ である。円 $D$ の中心を $P(x, y)$、半径を $r$ とする。

直線 $l: y=1$ に円 $D$ が接するので、円 $D$ の中心 $P(x, y)$ と直線 $y=1$ との距離は半径 $r$ に等しい。したがって、

$|y-1| = r$

$r = |y-1|$

円 $C$ に円 $D$ が内接するので、$OP = 2 - r$ が成り立つ。

$OP = \sqrt{x^2 + y^2}$

したがって、

$\sqrt{x^2 + y^2} = 2 - r = 2 - |y-1|$

$\sqrt{x^2 + y^2} = 2 - |y-1|$

$|y-1| = 2 - \sqrt{x^2 + y^2}$

両辺は正なので2乗できる。

$(y-1)^2 = (2 - \sqrt{x^2 + y^2})^2$

$y^2 - 2y + 1 = 4 - 4\sqrt{x^2 + y^2} + x^2 + y^2$

$-2y - 3 - x^2 = -4\sqrt{x^2 + y^2}$

$x^2 + 2y + 3 = 4\sqrt{x^2 + y^2}$

両辺は正なので2乗できる。

$(x^2 + 2y + 3)^2 = 16(x^2 + y^2)$

$(x^2)^2 + (2y)^2 + 3^2 + 2x^2(2y) + 2(2y)(3) + 2(3)(x^2) = 16x^2 + 16y^2$

$x^4 + 4y^2 + 9 + 4x^2y + 12y + 6x^2 = 16x^2 + 16y^2$

$x^4 - 10x^2 - 12y^2 + 4x^2y + 12y + 9 = 0$

$\sqrt{x^2 + y^2} = 2 - |y-1|$ という条件から、$\sqrt{x^2 + y^2} \le 2$ より $x^2 + y^2 \le 4$ である必要があり、かつ $|y-1| \le 2$ より $-1 \le y \le 3$ である必要がある。

また、$4\sqrt{x^2 + y^2} = x^2 + 2y + 3$ より、$x^2 + 2y + 3 \ge 0$ つまり $2y \ge -x^2 - 3$ が成り立つ必要がある。

放物線の式を求める。

$\sqrt{x^2 + y^2} = 2 - (y-1)$ （$y \ge 1$の場合）

$\sqrt{x^2 + y^2} = 3 - y$

$x^2 + y^2 = 9 - 6y + y^2$

$x^2 = 9 - 6y$

$6y = -x^2 + 9$

$y = -\frac{1}{6}x^2 + \frac{3}{2}$

$\sqrt{x^2 + y^2} = 2 - (1 - y)$ （$y < 1$の場合）

$\sqrt{x^2 + y^2} = 1 + y$

$x^2 + y^2 = 1 + 2y + y^2$

$x^2 = 1 + 2y$

$2y = x^2 - 1$

$y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}$

直線$l$と円$C$の中心の中点を考える。それは$(0, \frac{1}{2})$である。

3. 最終的な答え

$y = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}$