（i）基地局OをA高校とB病院の中間地点に設置し、セルの半径 $r = 4$ km とするとき、C百貨店が基地局Oのセルに含まれるか否かを答える問題。 （ii）基地局OをA高校、B病院、C百貨店から等距離な地点に設置し、３つの施設が全てセルに含まれるような最小の $r$ の値を考える。A高校とB病院を結ぶ直線に関してC百貨店とは反対側に、この直線と平行な高速道路Lがある。高速道路Lを移動する自動車がA高校から3kmの地点Dで基地局Oのセル内に入り、地点Eで基地局Oのセル外に出る。このとき、地点Dと地点Eの直線距離 $x$ を求める問題。

1. 問題の内容

（i）基地局OをA高校とB病院の中間地点に設置し、セルの半径 $r = 4$ km とするとき、C百貨店が基地局Oのセルに含まれるか否かを答える問題。

（ii）基地局OをA高校、B病院、C百貨店から等距離な地点に設置し、３つの施設が全てセルに含まれるような最小の $r$ の値を考える。A高校とB病院を結ぶ直線に関してC百貨店とは反対側に、この直線と平行な高速道路Lがある。高速道路Lを移動する自動車がA高校から3kmの地点Dで基地局Oのセル内に入り、地点Eで基地局Oのセル外に出る。このとき、地点Dと地点Eの直線距離 $x$ を求める問題。

2. 解き方の手順

(i)

A高校とB病院の距離が8kmなので、中間地点OからA高校、B病院までの距離はそれぞれ4km。

A高校、B病院、C百貨店間の距離はそれぞれAB=8km, BC=7km, CA=5kmであるから、三角形ABCを構成する。

線分ABの中点をOとする時、COの距離を求める。三角形ABCに対して中線定理を用いると、

$CA^2 + CB^2 = 2(CO^2 + AO^2)$

$5^2 + 7^2 = 2(CO^2 + 4^2)$

$25 + 49 = 2(CO^2 + 16)$

$74 = 2CO^2 + 32$

$2CO^2 = 42$

$CO^2 = 21$

$CO = \sqrt{21}$

$\sqrt{21} \approx 4.58$ であるから、$CO > 4$。

したがって、C百貨店は基地局Oのセルに含まれない。

(ii)

A高校、B病院、C百貨店から等距離の地点に基地局Oを設置するので、Oは三角形ABCの外心である。外接円の半径Rは、

$R = \frac{abc}{4S}$

ただし、$a, b, c$ は三角形の辺の長さ、$S$ は三角形の面積。

ヘロンの公式より、$s = \frac{8+7+5}{2} = 10$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{10(10-8)(10-7)(10-5)} = \sqrt{10 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$

$R = \frac{8 \cdot 7 \cdot 5}{4 \cdot 10\sqrt{3}} = \frac{280}{40\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

よって、$r = \frac{7\sqrt{3}}{3}$。

基地局OからA高校を結ぶ直線と、高速道路Lとの交点がDとなる。また、地点DはA高校から3km離れているので、AD=3。

地点Dと地点Eは基地局Oを中心とした半径rの円周上にあるので、OD = OE = r。

A高校とB病院を結ぶ直線と高速道路Lは平行なので、OからABに下ろした垂線と、高速道路Lとの距離は一定。

$OA = r$

地点DはOを中心とする半径rの円周上にあり、A高校から3kmの距離にある。

地点EはOを中心とする半径rの円周上にあり、高速道路L上にある。

$\angle AOD = \theta$ とおくと、$OD = r, OA = r, AD = 3$。

余弦定理より、$3^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 \cos{\theta} = 2r^2(1 - \cos{\theta})$

$9 = 2 (\frac{7\sqrt{3}}{3})^2 (1-\cos{\theta}) = 2 \cdot \frac{49 \cdot 3}{9} (1-\cos{\theta}) = \frac{98}{3} (1-\cos{\theta})$

$1 - \cos{\theta} = \frac{27}{98}$

$\cos{\theta} = 1 - \frac{27}{98} = \frac{71}{98}$

$\angle AOE = \theta'$ とおくと、$OE = r, OA = r$。

高速道路LとABの距離をhとすると、Aから高速道路Lまでの距離は3なので、

$r \sin{\frac{\theta'}{2}} = 3$

A高校とB病院を結ぶ直線に対してC百貨店とは反対側にあるので、線対称性より $DE = 2 \times 3 = 6$

$x=6$

3. 最終的な答え

タ：①

チ：6