三角形ABCにおいて、Gは重心である。AGとBCの交点をMとし、点AからBCに下ろした垂線の足をH、点GからBCに下ろした垂線の足をKとする。このとき、MK:MHを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、Gは重心である。AGとBCの交点をMとし、点AからBCに下ろした垂線の足をH、点GからBCに下ろした垂線の足をKとする。このとき、MK:MHを求めよ。

2. 解き方の手順

重心Gの性質として、AG:GM = 2:1 が成り立つ。

AHは点AからBCへの垂線、GKは点GからBCへの垂線であるから、AH // GK となる。

これより、三角形AHMと三角形GKMは相似となる。

したがって、相似比は、

$\frac{GM}{AM} = \frac{GK}{AH}$

となる。

ここで、AM = AG + GM であるから、AG:GM = 2:1 より、AM = AG + GM = 2GM + GM = 3GM となる。

よって、$\frac{GM}{AM} = \frac{GM}{3GM} = \frac{1}{3}$

したがって、$\frac{GK}{AH} = \frac{1}{3}$

また、三角形AHMと三角形GKMは相似であるから、

$\frac{MK}{MH} = \frac{GK}{AH} = \frac{1}{3}$

したがって、MK:MH = 1:3

3. 最終的な答え

MK:MH = 1:3