三角形ABCにおいて、AB=8, BC=7, CA=5とする。 (1) $\cos \angle BCA$, $\sin \angle BCA$ の値を求め、三角形ABCの外接円の半径を求める。 (2) 直線ABと平行な直線lが、三角形ABCの外接円の点Cを含まない方の弧ABと2点D, Eで交わっている。ただしAD=3である。このとき $\cos \angle ADB$, BDの値を求め、四角形ADBCの面積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=8, BC=7, CA=5とする。

(1) $\cos \angle BCA$, $\sin \angle BCA$ の値を求め、三角形ABCの外接円の半径を求める。

(2) 直線ABと平行な直線lが、三角形ABCの外接円の点Cを含まない方の弧ABと2点D, Eで交わっている。ただしAD=3である。このとき $\cos \angle ADB$, BDの値を求め、四角形ADBCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos \angle BCA$を余弦定理を用いて求める。

$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \cdot BC \cdot CA \cdot \cos \angle BCA$

$8^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos \angle BCA$

$64 = 49 + 25 - 70 \cos \angle BCA$

$70 \cos \angle BCA = 10$

$\cos \angle BCA = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$

$\sin \angle BCA$を求める。

$\sin^2 \angle BCA + \cos^2 \angle BCA = 1$

$\sin^2 \angle BCA = 1 - \cos^2 \angle BCA = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$

$\sin \angle BCA = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

$\triangle ABC$の外接円の半径Rを正弦定理を用いて求める。

$\frac{AB}{\sin \angle BCA} = 2R$

$\frac{8}{\frac{4\sqrt{3}}{7}} = 2R$

$2R = 8 \cdot \frac{7}{4\sqrt{3}} = 2 \cdot \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

$R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(2)

円に内接する四角形の対角の和は$180^{\circ}$であるから

$\angle ADB + \angle ACB = 180^{\circ}$

$\angle ADB = 180^{\circ} - \angle ACB$

$\cos \angle ADB = \cos(180^{\circ} - \angle ACB) = - \cos \angle ACB = -\frac{1}{7}$

$AB \parallel DE$より、$\angle DAB = \angle ADE$。また$\angle DAB = \angle DBC$（弧DBに対する円周角）。

したがって$\angle ADE = \angle DBC$。

$\triangle ABD$に余弦定理を用いる。

$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos \angle ADB$

$8^2 = 3^2 + BD^2 - 2 \cdot 3 \cdot BD \cdot (-\frac{1}{7})$

$64 = 9 + BD^2 + \frac{6}{7}BD$

$BD^2 + \frac{6}{7}BD - 55 = 0$

$7BD^2 + 6BD - 385 = 0$

$BD = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 7 \cdot (-385)}}{14} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 10780}}{14} = \frac{-6 \pm \sqrt{10816}}{14} = \frac{-6 \pm 104}{14}$

$BD > 0$より$BD = \frac{98}{14} = 7$

四角形ADBCの面積は、$\triangle ABC + \triangle ADB$で計算できる。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CA \cdot \sin \angle BCA = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = 10\sqrt{3}$

$\triangle ADB = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BD \cdot \sin \angle ADB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot \sin (180^{\circ} - \angle BCA) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot \sin \angle BCA = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = 6\sqrt{3}$

四角形ADBCの面積は$10\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\cos \angle BCA = \frac{1}{7}$

$\sin \angle BCA = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

外接円の半径: $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

$\cos \angle ADB = -\frac{1}{7}$

$BD = 7$

四角形ADBCの面積 = $16\sqrt{3}$