実数 $a, b$ が $0 < a < b < \frac{1}{a} < b^2$ を満たすとき、次の(1)から(4)について、$x$ と $y$ の大小関係を調べ、選択肢の中から正しいものを選ぶ。 (1) $x = \log_a b, y = \log_b a$ のとき (2) $x = \log_a ab, y = 0$ のとき (3) $x = \log_a b^2, y = \log_{\frac{1}{a}} b$ のとき (4) $x = \log_b \frac{b}{a}, y = \log_a \frac{a}{b}$ のとき 選択肢： 0. $x < y$ が必ず成り立つ 1. $x > y$ が必ず成り立つ

1. 問題の内容

実数 $a, b$ が $0 < a < b < \frac{1}{a} < b^2$ を満たすとき、次の(1)から(4)について、$x$ と $y$ の大小関係を調べ、選択肢の中から正しいものを選ぶ。

(1) $x = \log_a b, y = \log_b a$ のとき

(2) $x = \log_a ab, y = 0$ のとき

(3) $x = \log_a b^2, y = \log_{\frac{1}{a}} b$ のとき

(4) $x = \log_b \frac{b}{a}, y = \log_a \frac{a}{b}$ のとき

選択肢：

0. $x < y$ が必ず成り立つ

1. $x > y$ が必ず成り立つ

2. $x = y$ が必ず成り立つ

3. $x < y$ が成り立つことも $x > y$ が成り立つこともあり得る

2. 解き方の手順

(1) $x = \log_a b, y = \log_b a$ のとき

条件より $0 < a < b$ であるから、$b > 1$ ならば $\log_a b > 1$ かつ $\log_b a < 1$ なので $x > y$ となる。$0 < a < b < 1$ の場合、$a < b$ より $\log_a b < 1$ かつ $\log_b a > 1$ なので $x < y$ となる。条件 $0 < a < b < \frac{1}{a} < b^2$ より、もし、$b < 1$ ならば $\frac{1}{a} < b^2 < 1$ であるから、$a > 1$ となってしまう。これは $0 < a < b$ に矛盾する。したがって $b > 1$ であり、$x > y$ が必ず成り立つ。

(2) $x = \log_a ab, y = 0$ のとき

$x = \log_a a + \log_a b = 1 + \log_a b$

条件より $a < \frac{1}{a}$ であり、$a^2 < 1$ となる。したがって $0 < a < 1$ である。$a < b$ より $\log_a b < 1$ となるので、$x = \log_a ab = 1 + \log_a b$ である。

条件より $b > 1$ であり、$0 < a < 1$ より $\log_a b < 0$ である。

したがって $x = 1 + \log_a b < 1$ である。また、$\log_a b$ の値は $a$ と $b$ の値によって正にも負にもなりうるため、x>y,x<yどちらの場合もありうる。しかし、条件より $b > a > 0$ であるため $b > a$ であり、$0 < a < 1$ より $\log_a b < 0$ であるため、$1 + \log_a b$ が必ずしも正とは限らない。したがって、大小関係は確定しない。

$b^2 > \frac{1}{a}$ であり、$a > 0, b > 0$ であることから、$a = \frac{1}{b^2}$ とすれば $x = \log_{\frac{1}{b^2}} \frac{b}{b^2} = \log_{\frac{1}{b^2}} \frac{1}{b} = \frac{1}{2}$ となるので $x > y$ となる場合もある。

$x < y$ も成り立ちうるので、選択肢

3.

(3) $x = \log_a b^2, y = \log_{\frac{1}{a}} b$ のとき

$x = 2 \log_a b$

$y = \frac{\log_a b}{\log_a \frac{1}{a}} = \frac{\log_a b}{-1} = - \log_a b$

$x = 2 \log_a b > y = - \log_a b$

$3 \log_a b > 0$

$\log_a b > 0$

$a < 1$ かつ $b < 1$ または $a > 1$ かつ $b > 1$

条件 $0 < a < b < \frac{1}{a} < b^2$ より、$0 < a < 1$ かつ $1 < b$ は起こりえないため、$a < 1$ かつ $b < 1$ と、$a > 1$ かつ $b > 1$ のどちらかとなる。

しかし、$0 < a < 1$ より $\frac{1}{a} > 1$ であるため、$0 < a < b < \frac{1}{a} < b^2$ を満たすためには、$1 < b$ である必要がある。そうでない場合、$b < 1$ であるため、$b^2 < 1$ となる。

したがって $a < 1, b > 1$ である。

$x > y$ が必ず成り立つ。

(4) $x = \log_b \frac{b}{a}, y = \log_a \frac{a}{b}$ のとき

$x = \log_b b - \log_b a = 1 - \log_b a$

$y = \log_a a - \log_a b = 1 - \log_a b$

$a < b$ より $\log_b a < 1$ かつ $\log_a b > 1$ となる。

したがって $1 - \log_b a > 0$ かつ $1 - \log_a b < 0$ となり、$x > y$ が必ず成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 3

(3) 1

(4) 1