問題は、式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を展開し、整理することです。

1. 問題の内容

問題は、式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を展開し、整理することです。

2. 解き方の手順

まず、各項を展開します。

$ab(a+b) = a^2b + ab^2$

$bc(b+c) = b^2c + bc^2$

$ca(c+a) = c^2a + ca^2$

次に、展開した項をすべて足し合わせ、与えられた $3abc$ を加えます。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

式を整理し、因数分解できるか検討します。この式は次のように因数分解できます。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

展開して確認します。

$(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc$

$(ab+ac+b^2+bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc + abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

したがって、与えられた式は $(a+b)(b+c)(c+a)$ に等しくなります。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$