関数 $y = ax^2$ において、$x$ の変域が $-2 \leq x \leq 3$ であるとき、$y$ の変域が $-3 \leq y \leq 0$ である。このとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2$ において、$x$ の変域が $-2 \leq x \leq 3$ であるとき、$y$ の変域が $-3 \leq y \leq 0$ である。このとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ の変域が $y \leq 0$ であることから、$a < 0$ であることがわかる。

$x$ の変域が $-2 \leq x \leq 3$ であるとき、$y$ の最大値は $0$ となる。これは $x = 0$ のときである。

$y$ の最小値が $-3$ となるのは、$x = -2$ または $x = 3$ のいずれかである。

$x = -2$ のとき、$y = a(-2)^2 = 4a$

$x = 3$ のとき、$y = a(3)^2 = 9a$

$a < 0$ なので、$4a > 9a$ である。したがって、$y$ の最小値は $x = 3$ のときにとる。

よって、$9a = -3$

$a$ を求めるために方程式を解く。

$9a = -3$

$a = -\frac{3}{9}$

$a = -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{3}$