1つの面に色が塗ってある三角錐の展開図が、一辺の長さが6cmの正方形ABCDである。色の塗ってある三角形の頂点をA, P, Qとする。 (1) BPの長さを求める。 (2) この三角錐の表面積を求める。 (3) この三角錐の体積を求める。 (4) この展開図をもう一度組み立て、色が塗ってある面(△APQ)を底面にしたとき、できた三角錐の高さを求める。

1. 問題の内容

1つの面に色が塗ってある三角錐の展開図が、一辺の長さが6cmの正方形ABCDである。色の塗ってある三角形の頂点をA, P, Qとする。

(1) BPの長さを求める。

(2) この三角錐の表面積を求める。

(3) この三角錐の体積を求める。

(4) この展開図をもう一度組み立て、色が塗ってある面(△APQ)を底面にしたとき、できた三角錐の高さを求める。

2. 解き方の手順

(1) BPの長さは、正方形の一辺の長さが6cmで、BCの長さは6cm、PCの長さは3cmなので、$BP = BC - PC = 6 - 3 = 3$ cm。

(2) この三角錐の表面積は、正方形ABCDの面積に等しい。正方形の一辺の長さが6cmなので、$6 \times 6 = 36$ cm$^2$。

(3) この三角錐の体積は、底面が直角三角形BPCで、高さがABである。

底面積は$3 \times 3 \times \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$ cm$^2$。

高さは6cm。

したがって、体積は$\frac{9}{2} \times 6 \times \frac{1}{3} = 9$ cm$^3$。

(4) 三角錐APQCの体積は9cm$^3$である。

△APQの面積を求めます。AQ=3、AP=3、∠PAQ=90°なので、△APQの面積は$3 \times 3 \times \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$ cm$^2$。

三角錐の体積の公式は、体積 = (底面積) * (高さ) / 3。

$\frac{9}{2} \times h \times \frac{1}{3} = 9$

$\frac{3}{2}h = 9$

$h = 9 \times \frac{2}{3}$

$h = 6$ cm。

3. 最終的な答え

(1) 3 cm

(2) 36 cm$^2$

(3) 9 cm$^3$

(4) 6 cm