円 $C: x^2 + y^2 = 13$ と $C': x^2 + y^2 - 8x + 14y + 13 = 0$ が与えられています。2つの円の共通接線 $l_1$, $l_2$ の交点、およびそれらの方程式を求めます。さらに、円 $C$ と直線 $l_1$ の共有点の座標、2つの円の異なる2つの交点と $l_1$ 上の点 $P$ が同一直線上にあるときの点 $P$ の座標、そして円 $C$, $C'$ の中心をそれぞれ $O$, $O'$ とするとき、$l_1$ 上の点 $Q$ で $OQ + O'Q$ が最小となる $Q$ の座標を求めます。

1. 問題の内容

円 $C: x^2 + y^2 = 13$ と $C': x^2 + y^2 - 8x + 14y + 13 = 0$ が与えられています。2つの円の共通接線 $l_1$, $l_2$ の交点、およびそれらの方程式を求めます。さらに、円 $C$ と直線 $l_1$ の共有点の座標、2つの円の異なる2つの交点と $l_1$ 上の点 $P$ が同一直線上にあるときの点 $P$ の座標、そして円 $C$, $C'$ の中心をそれぞれ $O$, $O'$ とするとき、$l_1$ 上の点 $Q$ で $OQ + O'Q$ が最小となる $Q$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C'$ の式を平方完成すると、$(x - 4)^2 + (y + 7)^2 = 16 + 49 - 13 = 52$ となります。円 $C$ の中心は $(0, 0)$ で半径は $\sqrt{13}$、円 $C'$ の中心は $(4, -7)$ で半径は $\sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ です。

共通接線の交点は、2つの円の中心を結ぶ線分を半径の比で外分する点です。半径の比は $1:2$ なので、交点の座標は

$(\frac{0 - 1 \cdot 4}{1 - 2}, \frac{0 - 1 \cdot (-7)}{1 - 2}) = (4, -7)$.

共通接線の方程式を求めるために、$y = mx + n$ とおき、$C$ の中心からの距離が $\sqrt{13}$ であることから

$\frac{|n|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{13}$ が得られます。

$C'$ の中心からの距離が $2\sqrt{13}$ であることから

$\frac{|4m - 7 + n|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2\sqrt{13}$ が得られます。

したがって、$\frac{|n|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{13}$ と $\frac{|4m - 7 + n|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2\sqrt{13}$ が成り立つ必要があります。

$\frac{|4m - 7 + n|}{|n|} = 2$

$4m - 7 + n = 2n$ または $4m - 7 + n = -2n$

$n = 4m - 7$ または $3n = -4m + 7$

$n = 4m - 7$ のとき、$|4m - 7| = \sqrt{13(m^2 + 1)}$

$(4m - 7)^2 = 16m^2 - 56m + 49 = 13(m^2 + 1) = 13m^2 + 13$

$3m^2 - 56m + 36 = 0$

$(3m - 2)(m - 18) = 0$

$m = 2/3$ または $m = 18$

$m = 2/3$ のとき $n = 8/3 - 7 = -13/3$

$m = 18$ のとき $n = 72 - 7 = 65$

$3n = -4m + 7$ のとき、$|(-4m + 7)/3| = \sqrt{13(m^2 + 1)}$

$(-4m + 7)^2 = 16m^2 - 56m + 49 = 9 \cdot 13(m^2 + 1) = 117m^2 + 117$

$101m^2 + 56m + 68 = 0$ これは実数解を持たない。

$m = 2/3$, $n = -13/3$ より、$y = \frac{2}{3} x - \frac{13}{3}$ より、$2x - 3y = 13$.

$m = 18$, $n = 65$ より、$y = 18x + 65$ より、$18x - y = -65$

(1) 円 $C: x^2 + y^2 = 13$ と直線 $l_1: 2x - 3y = 13$ の共有点を求めます。

$y = (2x - 13)/3$ より、$x^2 + (\frac{2x - 13}{3})^2 = 13$

$9x^2 + 4x^2 - 52x + 169 = 117$

$13x^2 - 52x + 52 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

$y = (2(2) - 13)/3 = -9/3 = -3$

(2) 2つの円の交点を通る直線は $C - C' = 0$ で与えられます。

$x^2 + y^2 - (x^2 + y^2 - 8x + 14y + 13) = 0$

$8x - 14y - 13 = 0$

この直線と $2x - 3y = 13$ の交点を求めます。

$2x - 3y = 13$ より、$2x = 3y + 13$

$4(3y + 13) - 14y - 13 = 0$

$12y + 52 - 14y - 13 = 0$

$-2y + 39 = 0$

$y = 39/2$

$2x = 3(39/2) + 13 = 117/2 + 26/2 = 143/2$

$x = 143/4$

(3) $O(0, 0)$, $O'(4, -7)$ であり、$l_1: 2x - 3y = 13$ 上の点 $Q(x, y)$ に対して、$OQ + O'Q$ が最小となるのは、$O, Q, O'$ が一直線上にあるときです。つまり、$Q$ は線分 $OO'$ と直線 $l_1$ の交点です。

直線 $OO'$ の方程式は $y = -\frac{7}{4}x$.

$2x - 3(-\frac{7}{4}x) = 13$

$8x + 21x = 52$

$29x = 52$

$x = 52/29$

$y = -\frac{7}{4} \cdot \frac{52}{29} = -\frac{7 \cdot 13}{29} = -\frac{91}{29}$

3. 最終的な答え

共通接線の交点: (4, -7)

$l_1: 2x - 3y = 13$

$l_2: 3x + 2y = 13$

(1) (2, -3)

(2) (143/4, 39/2)

(3) (52/29, -91/29)