長方形ABCDにおいて、AB=8cm、AD=10cmである。辺CD上に点Pがあり、頂点Cを直線BPで折り返し、頂点Cが辺ADと重なる点をC'とする。 (1) △ABC' ∽ △DCPであることを証明する。 (2) 四角形BCPC'の面積を求める。 (3) BPの長さを求める。 (4) ∠ABC'の角の二等分線とAC'の交点をQとする。また、頂点Aを直線BQで折り返し、頂点Aが辺BC'上と重なる点をA'とする。△C'A'Qの面積を求める。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB=8cm、AD=10cmである。辺CD上に点Pがあり、頂点Cを直線BPで折り返し、頂点Cが辺ADと重なる点をC'とする。

(1) △ABC' ∽ △DCPであることを証明する。

(2) 四角形BCPC'の面積を求める。

(3) BPの長さを求める。

(4) ∠ABC'の角の二等分線とAC'の交点をQとする。また、頂点Aを直線BQで折り返し、頂点Aが辺BC'上と重なる点をA'とする。△C'A'Qの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) △ABC'と△DCPにおいて、

仮定より、∠BAC' = ∠C'DP = 90°

△ABC'は、∠BAC' = 90°の直角三角形より、∠ABC' + ∠AC'B = 90°

また、∠BC'P = 90°より、∠AC'B + ∠DC'P = 90°

よって、∠ABC' = ∠DC'P

したがって、2組の角がそれぞれ等しいので、△ABC' ∽ △DCP

(2) C'D = x とすると、三平方の定理より、$8^2 + x^2 = 10^2$。これを解くと、$x = 6$。

したがって、$C'D = 6cm$なので$C'P = CP = 10 - 6 = 4cm$。

よって、四角形BCPC'の面積は、$(BC+C'P) \times C'D \times \frac{1}{2} = (10+4) \times \frac{8}{2} = 14 \times 4 = 56$。

8:4 = 2:1

2:1 = 6:x

2x = 6

x = 3

したがって、$10 \times 5 \times \frac{1}{2} = 25$

50

(3) △BCPにおいて、三平方の定理より、$BP^2 = BC^2 + CP^2 = 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125$。

よって、$BP = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$。

(4)

3. 最終的な答え

(1) △ABC' ∽ △DCP (証明終わり)

(2) 四角形BCPC'の面積：50 $cm^2$

(3) BPの長さ：$5\sqrt{5}$ cm

(4) △C'A'Qの面積：（計算中）