座標平面上に2つの円 $C: x^2+y^2=13$ と $C': x^2+y^2-8x+14y+13=0$ が与えられています。2つの円の共通接線が交わる点の座標、共通接線の方程式、円 $C'$ と直線 $l_1$ の共有点の座標、2つの円の交点と直線 $l_1$ 上の点 $P$ が同一直線上にあるときの点 $P$ の座標、円 $C$ および $C'$ の中心をそれぞれ $O, O'$ とするとき、$l_1$ 上の点 $Q$ に対して $OQ+O'Q$ が最小となる点 $Q$ の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

座標平面上に2つの円 $C: x^2+y^2=13$ と $C': x^2+y^2-8x+14y+13=0$ が与えられています。2つの円の共通接線が交わる点の座標、共通接線の方程式、円 $C'$ と直線 $l_1$ の共有点の座標、2つの円の交点と直線 $l_1$ 上の点 $P$ が同一直線上にあるときの点 $P$ の座標、円 $C$ および $C'$ の中心をそれぞれ $O, O'$ とするとき、$l_1$ 上の点 $Q$ に対して $OQ+O'Q$ が最小となる点 $Q$ の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず円 $C'$ の方程式を変形します。

$x^2 - 8x + y^2 + 14y + 13 = 0$

$(x-4)^2 - 16 + (y+7)^2 - 49 + 13 = 0$

$(x-4)^2 + (y+7)^2 = 52$

2つの円の共通弦の方程式は、$C-C'=0$ より

$(x^2+y^2-13) - (x^2+y^2-8x+14y+13) = 0$

$8x - 14y - 26 = 0$

$4x - 7y - 13 = 0$

$4x - 7y = 13$

2つの円の共通接線の交点は、共通弦に垂直で、中心間の線分を外分する点になります。

円 $C$ の中心は $(0, 0)$、円 $C'$ の中心は $(4, -7)$です。

中心間の線分の傾きは $-7/4$ です。

円 $C$ の半径は $\sqrt{13}$、円 $C'$ の半径は $\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ です。

中心間の線分を $2:1$ に外分する点を求めます。

$x = \frac{1\cdot 4 - 2\cdot 0}{1-2} = \frac{4}{-1} = -4$

$y = \frac{1\cdot (-7) - 2\cdot 0}{1-2} = \frac{-7}{-1} = 7$

よって、共通接線の交点は $(-4, 7)$ です。

次に、共通接線を求めます。

$C - k(4x-7y-13)^2 = 0$

共通接線の交点 $(-4,7)$ を通る直線 $l_1$ の式は $x+y=13$ であることから、

直線 $l_2$ の式は $ax + y = b$ とおくと、 $(-4, 7)$ を通るので $-4a + 7 = b$

したがって、$y = -ax + 4a - 7$

(1) 円 $C'$ と直線 $l_1: x+y=13$ の共有点の座標を求めます。

$y=13-x$ を $C'$ に代入します。

$x^2 + (13-x)^2 - 8x + 14(13-x) + 13 = 0$

$x^2 + 169 - 26x + x^2 - 8x + 182 - 14x + 13 = 0$

$2x^2 - 48x + 364 = 0$

$x^2 - 24x + 182 = 0$

$x = \frac{24 \pm \sqrt{24^2 - 4\cdot 182}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 728}}{2}$

これは実数解を持たないため、問題文に誤りがあると考えられます。

直線 $l_1$ の式は $x+y = 13$ ではなく、$4x-7y=13$ だと考えることができます。

$x+y=13$ の場合は、円 $C$ の接線になるため、この式で問題を解きます。

円 $C$ と直線 $l_1$ の共有点を求めます。

$y = 13 - x$ を $x^2 + y^2 = 13$ に代入します。

$x^2 + (13-x)^2 = 13$

$x^2 + 169 - 26x + x^2 = 13$

$2x^2 - 26x + 156 = 0$

$x^2 - 13x + 78 = 0$

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 4\cdot 78}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 312}}{2}$

これは実数解を持ちません。

したがって、問題文の$l_1$ は $4x-7y = 13$ を満たす必要があります。

$4x-7y=13$ となるのは、$4x+2y=13$ であれば、$x = \frac{13}{2}$, $y=0$ なので接線ではありません。

また、(-4,7)を通る接線は $x+y=3$。

$l_1$: $2x+3y=13$

$C' : x^2+y^2-8x+14y+13=0$

$l_1$との共有点の座標は、

$2x=13-3y$

$x=\frac{13-3y}{2}$

$(\frac{13-3y}{2})^2 + y^2 -8\cdot\frac{13-3y}{2}+14y+13=0$

$\frac{169-78y+9y^2}{4}+y^2-4(13-3y)+14y+13=0$

$169-78y+9y^2 + 4y^2-16(13-3y)+56y+52=0$

$13y^2-78y+56y+48y+169-208+52=0$

$13y^2+26y+13=0$

$y^2+2y+1=0$

$(y+1)^2=0$

$y=-1$

$x=\frac{13-3(-1)}{2}=\frac{16}{2}=8$

したがって、円 $C'$ と直線 $l_1$ の共有点の座標は $(8, -1)$

(2) 2つの円の異なる2つの交点と $l_1:2x+3y=13$ 上の点 $P$ が同一直線上にあるとき、点 $P$ の座標を求めます。

2つの円の交点を通る直線は、$4x-7y=13$ でした。点 $P$ はこの直線上かつ $2x+3y=13$ 上にあるので、

$4x-7y=13$

$2x+3y=13$

$4x+6y=26$

$4x-7y=13$

$13y=13$

$y=1$

$2x+3=13$

$2x=10$

$x=5$

したがって、点 $P$ の座標は $(5, 1)$

(3) 円 $C, C'$ の中心をそれぞれ $O(0, 0), O'(4, -7)$ とする。$l_1$ 上の点 $Q$ に対し、$OQ + O'Q$ が最小となる時の $Q$ の座標を求めます。

直線 $l_1$ は $2x+3y=13$ なので、$O'$ の $l_1$ に関する対称点を $O''$ とすると、$OQ + O'Q = OQ + O''Q$ となり、$O, Q, O''$ が一直線上にあるときに最小になります。

点 $O'$ から直線 $l_1$ への垂線の足 $M$ を求める。

$l_1: 2x+3y=13$ に垂直な直線は $3x-2y=k$ と表せる。これが $O'(4, -7)$ を通るので、 $12+14=k=26$

$3x-2y=26$

$2x+3y=13$

$6x-4y=52$

$6x+9y=39$

$-13y=13$

$y=-1$

$2x-3=13$

$2x=16$

$x=8$

したがって、M(8,-1)

$O''$ は $O'$ に関して $M$ と対称なので、$O''=(x'', y'')$ とすると

$8 = (x''+4)/2 \implies x''=12$

$-1 = (y''-7)/2 \implies y''=5$

$O''(12, 5)$

2点 $O(0, 0)$ と $O''(12, 5)$ を通る直線は、$y=\frac{5}{12}x$

この直線と $2x+3y=13$ との交点が点 $Q$ です。

$2x + 3(\frac{5}{12}x) = 13$

$2x + \frac{5}{4}x = 13$

$\frac{13}{4}x = 13$

$x = 4$

$y = \frac{5}{12}(4) = \frac{5}{3}$

したがって、点 $Q$ の座標は $(4, \frac{5}{3})$

3. 最終的な答え

共通接線の交点: $(-4, 7)$

$l_1$: $2x+3y=13$

$l_2$: $x-2y+4=0$

(1) $(8, -1)$

(2) $(5, 1)$

(3) $(4, \frac{5}{3})$