三角形OABにおいて、ベクトル$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$とする。$\angle AOB$の二等分線と辺ABの交点をDとするとき、$AD:DB = |\vec{a}|:|\vec{b}|$であることを、(1)の結果を利用して示す。ただし、(1)の結果とは、$\angle AOB$の二等分線上の点は$\vec{p} = t\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)$で表されることである。

## 問題9の(2)を解きます。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、ベクトル$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$とする。$\angle AOB$の二等分線と辺ABの交点をDとするとき、$AD:DB = |\vec{a}|:|\vec{b}|$であることを、(1)の結果を利用して示す。ただし、(1)の結果とは、$\angle AOB$の二等分線上の点は$\vec{p} = t\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)$で表されることである。

2. 解き方の手順

(1)の結果より、点Dは$\angle AOB$の二等分線上にあるので、$\vec{OD} = t\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)$と表せる。

一方で、点Dは辺AB上にあるので、ある実数$k$を用いて$\vec{OD} = (1-k)\vec{a} + k\vec{b}$と表せる。

したがって、$t\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right) = (1-k)\vec{a} + k\vec{b}$となる。

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して、

$\frac{t}{|\vec{a}|} = 1-k$

$\frac{t}{|\vec{b}|} = k$

これらの式から$t$を消去すると、

$|\vec{a}|(1-k) = |\vec{b}|k$

$|\vec{a}| - |\vec{a}|k = |\vec{b}|k$

$|\vec{a}| = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)k$

$k = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}$

したがって、

$\vec{OD} = \left(1 - \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}\right)\vec{a} + \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}\vec{b} = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}\vec{a} + \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}\vec{b}$

次に、$\vec{AD}$と$\vec{DB}$を計算する。

$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = \left(\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}\vec{a} + \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}\vec{b}\right) - \vec{a} = \frac{-|\vec{a}|\vec{a} + |\vec{a}|\vec{b}}{|\vec{a}| + |\vec{b}|} = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}(\vec{b}-\vec{a})$

$\vec{DB} = \vec{OB} - \vec{OD} = \vec{b} - \left(\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}\vec{a} + \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}\vec{b}\right) = \frac{|\vec{b}|\vec{a} - |\vec{b}|\vec{b}}{|\vec{a}| + |\vec{b}|} = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}(\vec{a} - \vec{b})$

よって、$\vec{AD} = -\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}\vec{DB}$となる。

したがって、$AD:DB = |\vec{a}|:|\vec{b}|$

3. 最終的な答え

$AD:DB = |\vec{a}|:|\vec{b}|$