三角形OABにおいて、ベクトル$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$とする。 (1) 角AOBの二等分線上のベクトル$\vec{p}$が、ある実数tを用いて $\vec{p} = t(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|})$ と表されることを示せ。 (2) 角AOBの二等分線と辺ABの交点をDとするとき、$AD:DB = OA:OB$ であることを、(1)を利用して示せ。

## 問題9

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、ベクトル$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$とする。

(1) 角AOBの二等分線上のベクトル$\vec{p}$が、ある実数tを用いて $\vec{p} = t(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|})$ と表されることを示せ。

(2) 角AOBの二等分線と辺ABの交点をDとするとき、$AD:DB = OA:OB$ であることを、(1)を利用して示せ。

2. 解き方の手順

(1)

角AOBの二等分線上の点Pを考える。$\overrightarrow{OA}$方向の単位ベクトルを$\vec{e_a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$、$\overrightarrow{OB}$方向の単位ベクトルを$\vec{e_b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$とする。

$\overrightarrow{OP}$は$\vec{e_a}$と$\vec{e_b}$の和の方向にあり、ある実数tを用いて $\overrightarrow{OP} = t(\vec{e_a} + \vec{e_b})$ と表せる。

よって、$\vec{p} = t(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|})$が成り立つ。

(2)

点Dは角AOBの二等分線と辺ABの交点なので、$\overrightarrow{OD}$はある実数kを用いて $\overrightarrow{OD} = k(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|})$ と表せる。

また、点Dは辺AB上にあるので、$\overrightarrow{OD} = (1-s)\vec{a} + s\vec{b}$ と表せる（sは実数）。

したがって、

$k(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}) = (1-s)\vec{a} + s\vec{b}$

係数を比較するために両辺に $|\vec{a}||\vec{b}|$ をかけると

$k(|\vec{b}|\vec{a} + |\vec{a}|\vec{b}) = (1-s)|\vec{a}||\vec{b}|\vec{a} + s|\vec{a}||\vec{b}|\vec{b}$

係数を比較すると

$k|\vec{b}| = (1-s)|\vec{a}||\vec{b}|$

$k|\vec{a}| = s|\vec{a}||\vec{b}|$

よって、

$k = (1-s)|\vec{a}|$

$k = s|\vec{b}|$

したがって、$(1-s)|\vec{a}| = s|\vec{b}|$ より、

$|\vec{a}| = s|\vec{b}| + s|\vec{a}|$

$|\vec{a}| = s(|\vec{a}| + |\vec{b}|)$

$s = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}$

$1-s = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}$

ゆえに、$\overrightarrow{OD} = \frac{|\vec{b}|\vec{a} + |\vec{a}|\vec{b}}{|\vec{a}|+|\vec{b}|}$

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \frac{|\vec{b}|\vec{a} + |\vec{a}|\vec{b}}{|\vec{a}|+|\vec{b}|} - \vec{a} = \frac{|\vec{a}|\vec{b} - |\vec{a}|\vec{a}}{|\vec{a}|+|\vec{b}|} = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}|+|\vec{b}|}(\vec{b}-\vec{a})$

$\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OD} = \vec{b} - \frac{|\vec{b}|\vec{a} + |\vec{a}|\vec{b}}{|\vec{a}|+|\vec{b}|} = \frac{|\vec{b}|\vec{b} - |\vec{b}|\vec{a}}{|\vec{a}|+|\vec{b}|} = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|+|\vec{b}|}(\vec{b}-\vec{a})$

$AD:DB = |\overrightarrow{AD}|:|\overrightarrow{DB}| = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}|+|\vec{b}|}|\vec{b}-\vec{a}| : \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|+|\vec{b}|}|\vec{b}-\vec{a}| = |\vec{a}| : |\vec{b}|$

$OA:OB = |\vec{a}|:|\vec{b}|$

したがって、$AD:DB = OA:OB$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{p} = t(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|})$

(2) $AD:DB = OA:OB$