$\triangle ABC$の外接円の中心$O$を基準とし、頂点$A, B, C$の位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$とする。$\vec{h} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$を位置ベクトルとする点を$H$とし、$\triangle ABC$の重心を$G$とする。 (1) 3点$O, G, H$が同一直線上にあることを示す。 (2) $(\vec{h} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$を示す。 (3) 点$H$が$\triangle ABC$の垂心（各頂点から対辺に引いた垂線の交点）であることを示す。

## 問題10

1. 問題の内容

$\triangle ABC$の外接円の中心$O$を基準とし、頂点$A, B, C$の位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$とする。$\vec{h} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$を位置ベクトルとする点を$H$とし、$\triangle ABC$の重心を$G$とする。

(1) 3点$O, G, H$が同一直線上にあることを示す。

(2) $(\vec{h} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$を示す。

(3) 点$H$が$\triangle ABC$の垂心（各頂点から対辺に引いた垂線の交点）であることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

重心$G$の位置ベクトル$\vec{g}$は、$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$と表せる。

ここで、$\vec{h} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$なので、$\vec{g} = \frac{\vec{h}}{3}$となる。

よって、$\vec{h} = 3\vec{g}$。

これは、$\vec{OH} = 3\vec{OG}$であることを意味する。

したがって、3点$O, G, H$は同一直線上にあり、$OG : GH = 1:2$となる。

(2)

$(\vec{h} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = (\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c})$

$= |\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2$

ここで、$|\vec{b}|$と$|\vec{c}|$はそれぞれ円$O$の半径であるので、$|\vec{b}| = |\vec{c}|$。

したがって、$|\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2 = 0$

よって、$(\vec{h} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$。

(3)

(2)より$(\vec{h} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$なので、$\vec{AH} \perp \vec{BC}$

同様に、$(\vec{h} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{c}|^2 = 0$なので、$\vec{BH} \perp \vec{AC}$

よって、点$H$は$\triangle ABC$の頂点$A$から辺$BC$へ下ろした垂線上にあり、かつ頂点$B$から辺$AC$へ下ろした垂線状にある。

したがって、点$H$は$\triangle ABC$の垂心である。

3. 最終的な答え

(1) 3点$O, G, H$は同一直線上にある。

(2) $(\vec{h} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$

(3) 点$H$は$\triangle ABC$の垂心である。