数列$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$の一般項が $b_n = 2^n$ で与えられ、初項が $a_1 = 1$ のとき、数列$\{a_n\}$の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$の一般項が $b_n = 2^n$ で与えられ、初項が $a_1 = 1$ のとき、数列$\{a_n\}$の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

階差数列の公式を用いて、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 $n \geq 2$ のとき、階差数列の公式は次のようになります。

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$$

与えられた条件から、$a_1 = 1$、$b_n = 2^n$ であるので、

$$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$$

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k$ は初項2、公比2、項数 $n-1$ の等比数列の和であるから、

$$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^n - 2$$

したがって、

$$a_n = 1 + 2^n - 2 = 2^n - 1$$

この式は $n=1$ のときも $a_1 = 2^1 - 1 = 1$ となり成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^n - 1$