問題4の(1)から(4)までの多項式を、$x$ について降べきの順に整理せよ。また、問題5の(1)から(4)について、$A+B$ と $A-B$ を計算せよ。

1. 問題の内容

問題4の(1)から(4)までの多項式を、$x$ について降べきの順に整理せよ。また、問題5の(1)から(4)について、$A+B$ と $A-B$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

問題4

多項式を $x$ の次数の大きい順に並べ替えます。定数項は一番後ろに書きます。

(1) $5x - 4x^2 - 2 + 5x^3$

$5x^3 - 4x^2 + 5x - 2$

(2) $4x^2 - 5 + 2x^3 - 2x - x^2 - x^3 + 3$

$(2x^3 - x^3) + (4x^2 - x^2) - 2x + (-5 + 3)$

$x^3 + 3x^2 - 2x - 2$

(3) $2a^2x + a^2x^2 - 3x^2 - 5x + 1$

$a^2x^2 + (2a^2)x - 3x^2 - 5x + 1$

= $a^2x^2 - 3x^2 + 2a^2x - 5x + 1$

= $(a^2 - 3)x^2 + (2a^2 - 5)x + 1$

(4) $6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$

$6x^2 - 7xy - 6x + 2y^2 + 5y - 12$

= $6x^2 - (7y + 6)x + (2y^2 + 5y - 12)$

問題5

$A$ と $B$ の多項式について、$A+B$ と $A-B$ をそれぞれ計算します。

(1) $A = 3x - 4y - 2z, B = -x - 4y + 2z$

$A + B = (3x - 4y - 2z) + (-x - 4y + 2z) = (3x - x) + (-4y - 4y) + (-2z + 2z) = 2x - 8y$

$A - B = (3x - 4y - 2z) - (-x - 4y + 2z) = (3x + x) + (-4y + 4y) + (-2z - 2z) = 4x - 4z$

(2) $A = x^3 - 3 - 2x, B = -5x + 2x^2 - 3x^3 - 1$

$A + B = (x^3 - 3 - 2x) + (-5x + 2x^2 - 3x^3 - 1) = (x^3 - 3x^3) + 2x^2 + (-2x - 5x) + (-3 - 1) = -2x^3 + 2x^2 - 7x - 4$

$A - B = (x^3 - 3 - 2x) - (-5x + 2x^2 - 3x^3 - 1) = (x^3 + 3x^3) - 2x^2 + (-2x + 5x) + (-3 + 1) = 4x^3 - 2x^2 + 3x - 2$

(3) $A = 2a^2 - ab + 5b^2, B = -3a^2 + 5ab - b^2$

$A + B = (2a^2 - ab + 5b^2) + (-3a^2 + 5ab - b^2) = (2a^2 - 3a^2) + (-ab + 5ab) + (5b^2 - b^2) = -a^2 + 4ab + 4b^2$

$A - B = (2a^2 - ab + 5b^2) - (-3a^2 + 5ab - b^2) = (2a^2 + 3a^2) + (-ab - 5ab) + (5b^2 + b^2) = 5a^2 - 6ab + 6b^2$

(4) $A = 2x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3, B = 2x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3$

$A + B = (2x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3) + (2x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3) = (2x^3 + 2x^3) + (6x^2y - 6x^2y) + (12xy^2 + 12xy^2) + (8y^3 - 8y^3) = 4x^3 + 24xy^2$

$A - B = (2x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3) - (2x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3) = (2x^3 - 2x^3) + (6x^2y + 6x^2y) + (12xy^2 - 12xy^2) + (8y^3 + 8y^3) = 12x^2y + 16y^3$

3. 最終的な答え

問題4

(1) $5x^3 - 4x^2 + 5x - 2$

(2) $x^3 + 3x^2 - 2x - 2$

(3) $(a^2 - 3)x^2 + (2a^2 - 5)x + 1$

(4) $6x^2 - (7y + 6)x + (2y^2 + 5y - 12)$

問題5

(1) $A+B = 2x - 8y, A-B = 4x - 4z$

(2) $A+B = -2x^3 + 2x^2 - 7x - 4, A-B = 4x^3 - 2x^2 + 3x - 2$

(3) $A+B = -a^2 + 4ab + 4b^2, A-B = 5a^2 - 6ab + 6b^2$

(4) $A+B = 4x^3 + 24xy^2, A-B = 12x^2y + 16y^3$