(1) 初項が3、公差が-7である等差数列の一般項 $a_n$ と、初項から第20項までの和$S$を求めよ。 (2) 等差数列 27, 23, 19, 15, 11,... の一般項 $a_n$ と、初項から第20項までの和$S$を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 初項が3、公差が-7である等差数列の一般項 $a_n$ と、初項から第20項までの和$S$を求めよ。

(2) 等差数列 27, 23, 19, 15, 11,... の一般項 $a_n$ と、初項から第20項までの和$S$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列の一般項は、初項を$a$、公差を$d$とすると、$a_n = a + (n-1)d$で表される。

与えられた条件より、$a=3$、$d=-7$であるから、

$a_n = 3 + (n-1)(-7)$

$a_n = 3 - 7n + 7$

$a_n = -7n + 10$

等差数列の和は、$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$で表される。

初項$a_1$は3であり、第20項$a_{20}$は$a_{20} = -7(20) + 10 = -140 + 10 = -130$である。

したがって、初項から第20項までの和$S$は、

$S = \frac{20}{2}(3 + (-130))$

$S = 10(-127)$

$S = -1270$

(2)

与えられた数列の初項は$a = 27$である。

公差は$d = 23 - 27 = -4$である。

一般項$a_n$は、

$a_n = 27 + (n-1)(-4)$

$a_n = 27 - 4n + 4$

$a_n = -4n + 31$

第20項$a_{20}$は、$a_{20} = -4(20) + 31 = -80 + 31 = -49$である。

初項から第20項までの和$S$は、

$S = \frac{20}{2}(27 + (-49))$

$S = 10(-22)$

$S = -220$

3. 最終的な答え

(1)

一般項: $a_n = -7n + 10$

初項から第20項までの和: $S = -1270$

(2)

一般項: $a_n = -4n + 31$

初項から第20項までの和: $S = -220$