与えられた式 $(2M^2 + 2M + 1)(2M + 1)$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(2M^2 + 2M + 1)(2M + 1)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$(2M^2 + 2M + 1)(2M + 1) = 2M^2(2M + 1) + 2M(2M + 1) + 1(2M + 1)$

$= 4M^3 + 2M^2 + 4M^2 + 2M + 2M + 1$

$= 4M^3 + 6M^2 + 4M + 1$

次に、この3次式が因数分解できるかどうかを検討します。もし $(aM + b)$ の形の因数を持つなら、定数項は $b$ であり、今回の場合は 1 です。つまり、$(2M + 1)$ を因数に持つかどうか試します。

$4M^3 + 6M^2 + 4M + 1$ を $2M + 1$ で割ってみます。

```

2M^2 + 2M + 1

2M+1 | 4M^3 + 6M^2 + 4M + 1

4M^3 + 2M^2

----------------

4M^2 + 4M

4M^2 + 2M

----------------

2M + 1

2M + 1

----------------

0

```

割り切れたので、$4M^3 + 6M^2 + 4M + 1 = (2M + 1)(2M^2 + 2M + 1)$ と因数分解できます。

元の式は $(2M^2 + 2M + 1)(2M + 1)$ なので、これはすでに因数分解された形です。

$2M^2 + 2M + 1$ は判別式 $D = 2^2 - 4 \times 2 \times 1 = 4 - 8 = -4 < 0$ なので、実数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

したがって、与えられた式は $(2M + 1)(2M^2 + 2M + 1)$ ですが、これは既に因数分解された形なので、そのままが答えです。あるいは、先程計算したように展開した形で答えても、元の形に戻ります。

3. 最終的な答え

$(2M^2 + 2M + 1)(2M + 1)$

または

$4M^3 + 6M^2 + 4M + 1$