与えられた式 $24x^2 - 54y^2 + 14x + 21y - 90$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $24x^2 - 54y^2 + 14x + 21y - 90$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を以下のように整理します。

$24x^2 + 14x - 54y^2 + 21y - 90$

次に、$24x^2 + 14x$の部分と$-54y^2 + 21y$の部分をそれぞれ因数分解することを試みます。

しかし、そのままでは綺麗な形にならないので、全体を因数分解できるかどうかを考えます。

$24x^2 - 54y^2 + 14x + 21y - 90$という式を見ると、$24$と$54$はどちらも$6$の倍数、$14$と$21$はどちらも$7$の倍数であることに気づきます。そこで、$24x^2 - 54y^2$の部分を$6$でくくり、$14x + 21y$の部分を$7$でくくってみます。

$6(4x^2 - 9y^2) + 7(2x + 3y) - 90$

ここで、$4x^2 - 9y^2$は$(2x)^2 - (3y)^2$と見なせるので、和と差の積の公式を使って因数分解できます。

$4x^2 - 9y^2 = (2x + 3y)(2x - 3y)$

これを与えられた式に代入します。

$6(2x + 3y)(2x - 3y) + 7(2x + 3y) - 90$

ここで、$2x + 3y = A$と置くと、式は

$6A(2x - 3y) + 7A - 90 = A(12x - 18y + 7) - 90$

となります。

元の式に戻って、$6(2x+3y)(2x-3y) + 7(2x+3y) -90 = (2x+3y)[6(2x-3y) + 7] - 90 = (2x+3y)(12x-18y+7) - 90$ となります。

この形のままでは、さらに因数分解を進めることが難しいです。元の式をもう一度見直してみましょう。

元の式は$24x^2 - 54y^2 + 14x + 21y - 90$でした。

$24x^2 + 14x$の部分と$-54y^2 + 21y - 90$の部分で分けるのではなく、$24x^2 - 54y^2$の部分と$14x + 21y$の部分で分けるのが良さそうです。

$24x^2 - 54y^2 + 14x + 21y - 90 = 6(4x^2 - 9y^2) + 7(2x + 3y) - 90 = 6(2x - 3y)(2x + 3y) + 7(2x + 3y) - 90$

ここで、$A = 2x + 3y$と置くと、

$6(2x - 3y)A + 7A - 90 = A(12x - 18y + 7) - 90$となります。

ここで、$2x+3y = k$ とすると、

$6(2x-3y)k+7k - 90 = k(12x - 18y + 7) - 90 = (2x+3y)(12x-18y+7) - 90$となります。

この問題は、これ以上簡単な形に因数分解できないようです。

3. 最終的な答え

$6(2x - 3y)(2x + 3y) + 7(2x + 3y) - 90 = (2x+3y)(12x-18y+7) - 90$