画像の問題は、2次関数の平行移動、対称移動、および最大値・最小値を求める問題です。具体的には、以下の3つの問題が含まれています。 * 問題5: 放物線の平行移動と対称移動に関する問題 * 問題6: 放物線とx軸の接点、頂点の座標、およびx軸との交点に関する問題 * 問題7: 2次関数の最小値と最大値に関する問題

1. 問題の内容

画像の問題は、2次関数の平行移動、対称移動、および最大値・最小値を求める問題です。具体的には、以下の3つの問題が含まれています。

* 問題5: 放物線の平行移動と対称移動に関する問題

* 問題6: 放物線とx軸の接点、頂点の座標、およびx軸との交点に関する問題

* 問題7: 2次関数の最小値と最大値に関する問題

2. 解き方の手順

**問題5**

(1) 放物線 $y = 3x^2 - x + 7$ を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動する。

$x$ を $x + 1$ に、 $y$ を $y - 2$ に置き換える。

$y - 2 = 3(x+1)^2 - (x+1) + 7$

$y = 3(x^2 + 2x + 1) - x - 1 + 7 + 2$

$y = 3x^2 + 6x + 3 - x + 8$

$y = 3x^2 + 5x + 11$

(2) 放物線 $y = -x^2 + 2x - 3$ をGとする。

* x軸に関して対称移動: $y$ を $-y$ に置き換える。$-y = -x^2 + 2x - 3$ より、$y = x^2 - 2x + 3$

* y軸に関して対称移動: $x$ を $-x$ に置き換える。 $y = -(-x)^2 + 2(-x) - 3$ より、$y = -x^2 - 2x - 3$

* 原点に関して対称移動: $x$ を $-x$ に、 $y$ を $-y$ に置き換える。 $-y = -(-x)^2 + 2(-x) - 3$ より、$y = x^2 + 2x + 3$

**問題6**

(1) 放物線 $y = -x^2 + kx + k + 1$ が $x$ 軸と1点で接するとき、判別式 $D = 0$ となる。

$D = k^2 - 4(-1)(k+1) = k^2 + 4k + 4 = (k+2)^2 = 0$

よって、$k = -2$

このとき、$y = -x^2 - 2x - 1 = -(x+1)^2$

接点の座標は $(-1, 0)$

(2) 放物線 $y = -x^2 - 4kx - 5k^2 + 4k - 3$ の頂点の $y$ 座標を求める。

$y = -(x^2 + 4kx) - 5k^2 + 4k - 3$

$y = -(x^2 + 4kx + 4k^2) + 4k^2 - 5k^2 + 4k - 3$

$y = -(x+2k)^2 -k^2 + 4k - 3$

頂点の $y$ 座標は $-k^2 + 4k - 3$

放物線が $x$ 軸と異なる2点で交わるとき、頂点の $y$ 座標の符号が放物線の係数と異なる。つまり、$D > 0$。

$-k^2 + 4k - 3 > 0$

$k^2 - 4k + 3 < 0$

$(k-1)(k-3) < 0$

$1 < k < 3$

**問題7**

関数 $f(x) = 2x^2 - 12x + 8$ について、頂点の座標を求める。

$f(x) = 2(x^2 - 6x) + 8$

$f(x) = 2(x^2 - 6x + 9) - 18 + 8$

$f(x) = 2(x-3)^2 - 10$

頂点の座標は $(3, -10)$

$0 \le x \le a$ における関数 $f(x)$ の最小値 $m$ について

$0 < a \le 3$ のとき、頂点が区間外なので、$f(a) = 2a^2 - 12a + 8$

$a > 3$ のとき、頂点が区間内なので、$m = -10$

$f(0) = 8$

$f(x) = 8$ となる $x$ の値を求めると、

$2x^2 - 12x + 8 = 8$

$2x^2 - 12x = 0$

$2x(x-6) = 0$

$x = 0, 6$

最大値 $M$ について

$0 < a \le 6$ のとき、$M = f(0) = 8$

$a > 6$ のとき、$M = f(a) = 2a^2 -12a + 8$

3. 最終的な答え

問題５

ア：3

イ：5

ウエ：11

オ：$y = x^2 - 2x + 3$　（①）

カ：$y = -x^2 - 2x - 3$　（⑥）

キ：$y = x^2 + 2x + 3$ （０）

問題６

アイ：-2

ウエ：-1

オ：0

カ：-1

キ：4

ク：-3

ケ：1

コ：3

問題7

アイ：3

ウエ：-10

ア：3

オ：2

カ：-12

キ：8

ク：-10

ケコサ：-10

シ：8

ス：6

セ：8

ソ：2

タチ：12

ツ：8