問題5は、放物線の平行移動と対称移動に関する問題です。 (1) 放物線 $y = 3x^2 - x + 7$ を $x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$2$だけ平行移動した放物線の方程式を求めます。 (2) 放物線 $y = -x^2 + 2x - 3$ を $G$ とします。放物線 $G$ を、$x$軸に関して対称移動、 $y$軸に関して対称移動、原点に関して対称移動した放物線の方程式をそれぞれ求めます。 問題6は、放物線と$x$軸との接点や交点に関する問題です。 (1) 放物線 $y = -x^2 + kx + k + 1$ が $x$軸と1点で接するとき、定数 $k$ の値を求めます。また、このときの接点の座標を求めます。 (2) 放物線 $y = -x^2 - 4kx - 5k^2 + 4k - 3$ の頂点の $y$ 座標を求めます。また、放物線が $x$軸と異なる2点で交わるとき、定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

問題5は、放物線の平行移動と対称移動に関する問題です。

(1) 放物線 $y = 3x^2 - x + 7$ を $x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$2$だけ平行移動した放物線の方程式を求めます。

(2) 放物線 $y = -x^2 + 2x - 3$ を $G$ とします。放物線 $G$ を、$x$軸に関して対称移動、 $y$軸に関して対称移動、原点に関して対称移動した放物線の方程式をそれぞれ求めます。

問題6は、放物線と$x$軸との接点や交点に関する問題です。

(1) 放物線 $y = -x^2 + kx + k + 1$ が $x$軸と1点で接するとき、定数 $k$ の値を求めます。また、このときの接点の座標を求めます。

(2) 放物線 $y = -x^2 - 4kx - 5k^2 + 4k - 3$ の頂点の $y$ 座標を求めます。また、放物線が $x$軸と異なる2点で交わるとき、定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

問題5

(1) 平行移動の公式：$y = f(x)$ を $x$軸方向に $p$、$y$軸方向に $q$ 平行移動すると、 $y - q = f(x - p)$ となります。

したがって、$y = 3x^2 - x + 7$ を $x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$2$だけ平行移動すると、

$y - 2 = 3(x + 1)^2 - (x + 1) + 7$

$y = 3(x^2 + 2x + 1) - x - 1 + 7 + 2$

$y = 3x^2 + 6x + 3 - x + 8$

$y = 3x^2 + 5x + 11$

よって、アは3, イは5, ウエは11です。

(2)

$y = -x^2 + 2x - 3$ を $G$ とします。

- $x$軸に関して対称移動：$y$ を $-y$ に置き換えます。

$-y = -x^2 + 2x - 3$

$y = x^2 - 2x + 3$

よって、オは0です。

- $y$軸に関して対称移動：$x$ を $-x$ に置き換えます。

$y = -(-x)^2 + 2(-x) - 3$

$y = -x^2 - 2x - 3$

よって、カは6です。

- 原点に関して対称移動：$x$ を $-x$、$y$ を $-y$ に置き換えます。

$-y = -(-x)^2 + 2(-x) - 3$

$-y = -x^2 - 2x - 3$

$y = x^2 + 2x + 3$

よって、キは1です。

問題6

(1) 放物線 $y = -x^2 + kx + k + 1$ が $x$軸と1点で接するとき、判別式 $D = 0$ です。

$D = k^2 - 4(-1)(k + 1) = k^2 + 4k + 4 = (k + 2)^2 = 0$

$k = -2$

よって、アイは-2です。

このとき、$y = -x^2 - 2x - 2 + 1 = -x^2 - 2x - 1 = -(x + 1)^2$

接点の座標は $(-1, 0)$

よって、ウエは-1, オは0です。

(2) 放物線 $y = -x^2 - 4kx - 5k^2 + 4k - 3$ の頂点の $y$ 座標を求めます。

$y = -(x^2 + 4kx) - 5k^2 + 4k - 3$

$y = -(x^2 + 4kx + 4k^2 - 4k^2) - 5k^2 + 4k - 3$

$y = -(x + 2k)^2 + 4k^2 - 5k^2 + 4k - 3$

$y = -(x + 2k)^2 - k^2 + 4k - 3$

頂点の $y$ 座標は $-k^2 + 4k - 3$

よって、カは-1, キは4, クは3です。

放物線が $x$軸と異なる2点で交わるとき、判別式 $D > 0$ です。

$D/4 = (-2k)^2 - (-1)(-5k^2 + 4k - 3) = 4k^2 - 5k^2 + 4k - 3 = -k^2 + 4k - 3 > 0$

$k^2 - 4k + 3 < 0$

$(k - 1)(k - 3) < 0$

$1 < k < 3$

よって、ケは1, コは3です。

3. 最終的な答え

問題5

(1) ア: 3, イ: 5, ウエ: 11

(2) オ: 0, カ: 6, キ: 1

問題6

(1) アイ: -2, ウエ: -1, オ: 0

(2) カ: -1, キ: 4, ク: 3, ケ: 1, コ: 3