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与えられた式 $27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3$ を因数分解してください。

代数学因数分解多項式3次式
2025/4/24

1. 問題の内容

与えられた式 27a3−27a2b+9ab2−b327a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3 を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は、(x−y)3=x3−3x2y+3xy2−y3(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 の形をしていることに気づきます。
27a327a^3 は (3a)3(3a)^3 と書けます。また、−b3-b^3 は (−b)3(-b)^3 と書けます。
したがって、x=3ax = 3a、 y=by = b と考えると、以下のようになります。
(3a−b)3=(3a)3−3(3a)2b+3(3a)b2−b3(3a-b)^3 = (3a)^3 - 3(3a)^2b + 3(3a)b^2 - b^3
=27a3−3(9a2)b+3(3a)b2−b3= 27a^3 - 3(9a^2)b + 3(3a)b^2 - b^3
=27a3−27a2b+9ab2−b3= 27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3
与えられた式と一致するため、因数分解の結果は(3a−b)3(3a - b)^3となります。

3. 最終的な答え

(3a−b)3(3a - b)^3

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