質量$M$の物体が速度$V$で$x$軸上を運動中に爆発し、質量$\frac{2M}{3}$の物体Aと質量$\frac{M}{3}$の物体Bに分裂した。分裂後、物体Aは$x$軸から45°、物体Bは$x$軸から-30°の方向に進んだ。物体A, Bの速度の大きさをそれぞれ$v_A$, $v_B$とする。爆発の前後で何が成り立つか、運動量保存則を用いて$v_A$と$v_B$を求め、爆発による力学的エネルギーの増加を求める。

1. 問題の内容

質量$M$の物体が速度$V$で$x$軸上を運動中に爆発し、質量$\frac{2M}{3}$の物体Aと質量$\frac{M}{3}$の物体Bに分裂した。分裂後、物体Aは$x$軸から45°、物体Bは$x$軸から-30°の方向に進んだ。物体A, Bの速度の大きさをそれぞれ$v_A$, $v_B$とする。爆発の前後で何が成り立つか、運動量保存則を用いて$v_A$と$v_B$を求め、爆発による力学的エネルギーの増加を求める。

2. 解き方の手順

(1) 爆発によって物体AとBが受ける力積は、互いに作用・反作用の関係にあるので、大きさは等しく、向きは反対である。

爆発の前後で運動量保存則が成り立つ。

$x$成分について、

$M V = \frac{2M}{3} v_A \cos 45^{\circ} + \frac{M}{3} v_B \cos (-30^{\circ})$

$y$成分について、

$0 = \frac{2M}{3} v_A \sin 45^{\circ} + \frac{M}{3} v_B \sin (-30^{\circ})$

$M V = \frac{2M}{3} v_A \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{M}{3} v_B \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 = \frac{2M}{3} v_A \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{M}{3} v_B \frac{1}{2}$

これらの式を整理すると、

$V = \frac{\sqrt{2}}{3} v_A + \frac{\sqrt{3}}{6} v_B$

$0 = \frac{\sqrt{2}}{3} v_A - \frac{1}{6} v_B$

2つ目の式から、

$v_B = 2 \sqrt{2} v_A$

これを1つ目の式に代入すると、

$V = \frac{\sqrt{2}}{3} v_A + \frac{\sqrt{3}}{6} (2 \sqrt{2} v_A) = \frac{\sqrt{2}}{3} v_A + \frac{\sqrt{6}}{3} v_A = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{3} v_A$

よって、

$v_A = \frac{3V}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} = \frac{3V (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{3V (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{3V (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$v_B = 2 \sqrt{2} v_A = 2 \sqrt{2} \frac{3V (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{3 \sqrt{2} V (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} = \frac{3 V (2 \sqrt{3} - 2)}{2} = 3V (\sqrt{3} - 1)$

(2) 爆発による力学的エネルギーの増加$\Delta E$は、

$\Delta E = \frac{1}{2} \frac{2M}{3} v_A^2 + \frac{1}{2} \frac{M}{3} v_B^2 - \frac{1}{2} M V^2$

$= \frac{M}{3} (\frac{3V(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4})^2 + \frac{M}{6} (3V(\sqrt{3} - 1))^2 - \frac{1}{2} M V^2$

$= \frac{M}{3} \frac{9 V^2 (6 - 2\sqrt{12} + 2)}{16} + \frac{M}{6} 9 V^2 (3 - 2\sqrt{3} + 1) - \frac{1}{2} M V^2$

$= \frac{3 M V^2 (8 - 4\sqrt{3})}{16} + \frac{3 M V^2 (4 - 2\sqrt{3})}{2} - \frac{1}{2} M V^2$

$= \frac{3}{4} M V^2 (\frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} + 4 - 2\sqrt{3} - 2)$

$= \frac{3}{4} M V^2 (2 - \sqrt{3} + 2 - 2\sqrt{3})$

$= \frac{3}{4} M V^2 (4 - 3\sqrt{3})$

$= M V^2 (\frac{12-9\sqrt{3}}{4})$

3. 最終的な答え

(1)

ア: 等しい

イ: 反対

ウ: 運動量保存則

エ: $MV = \frac{2M}{3} v_A \cos 45^{\circ} + \frac{M}{3} v_B \cos (-30^{\circ})$

オ: $0 = \frac{2M}{3} v_A \sin 45^{\circ} + \frac{M}{3} v_B \sin (-30^{\circ})$

カ: $v_A = \frac{3V (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

キ: $v_B = 3V (\sqrt{3} - 1)$

(2)

ク: $\frac{3}{4} M V^2 (4 - 3\sqrt{3})$