理想気体の状態方程式 $PV = nRT$ を用いて、絶対温度 $T$ の全微分が完全微分であることを示す。ただし、$T = \frac{PV}{nR}$ であり、$n$ は物質量、$R$ は気体定数とする。

1. 問題の内容

理想気体の状態方程式 $PV = nRT$ を用いて、絶対温度 $T$ の全微分が完全微分であることを示す。ただし、$T = \frac{PV}{nR}$ であり、$n$ は物質量、$R$ は気体定数とする。

2. 解き方の手順

全微分が完全微分であるためには、ある関数 $f(x, y)$ が存在し、$df = M(x, y)dx + N(x, y)dy$ と表されるとき、$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ が成立する必要がある。

温度 $T$ は圧力 $P$ と体積 $V$ の関数であるから、$T = T(P, V)$ と考える。

温度 $T$ の全微分 $dT$ は、

$dT = \left( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_V dP + \left( \frac{\partial T}{\partial V} \right)_P dV$

と表せる。ここで、

$\left( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_V = \frac{V}{nR}$

$\left( \frac{\partial T}{\partial V} \right)_P = \frac{P}{nR}$

したがって、全微分 $dT$ は、

$dT = \frac{V}{nR} dP + \frac{P}{nR} dV$

となる。

ここで、$M(P, V) = \frac{V}{nR}$、$N(P, V) = \frac{P}{nR}$ とおくと、

$\frac{\partial M}{\partial V} = \frac{\partial}{\partial V} \left( \frac{V}{nR} \right) = \frac{1}{nR}$

$\frac{\partial N}{\partial P} = \frac{\partial}{\partial P} \left( \frac{P}{nR} \right) = \frac{1}{nR}$

したがって、$\frac{\partial M}{\partial V} = \frac{\partial N}{\partial P}$ が成立する。

これは、温度 $T$ の全微分 $dT$ が完全微分であることを意味する。

3. 最終的な答え

絶対温度 $T$ の全微分は完全微分である。