質量 $m_1$ の球Aがx軸上を速度 $v_0$ で進み、質量 $m_2$ の球Bに衝突する。衝突後の球Aと球Bの速度のx成分とy成分をそれぞれ $v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Bx}, v_{By}$ とし、運動方向をそれぞれ $\theta_A, \theta_B$ とする。衝突前後の運動に関して成り立つ関係式と、与えられた条件から $v_{Ax}$ を求める。

1. 問題の内容

質量 $m_1$ の球Aがx軸上を速度 $v_0$ で進み、質量 $m_2$ の球Bに衝突する。衝突後の球Aと球Bの速度のx成分とy成分をそれぞれ $v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Bx}, v_{By}$ とし、運動方向をそれぞれ $\theta_A, \theta_B$ とする。衝突前後の運動に関して成り立つ関係式と、与えられた条件から $v_{Ax}$ を求める。

2. 解き方の手順

ア： 衝突前後で運動量が保存される。また、摩擦は無視できることから、x軸方向、y軸方向それぞれで運動量保存則が成り立つ。

x成分：衝突前のx方向の運動量は $m_1 v_0$ であり、衝突後のx方向の運動量は $m_1 v_{Ax} + m_2 v_{Bx}$ である。したがって、

$m_1 v_0 = m_1 v_{Ax} + m_2 v_{Bx}$。これを整理すると、

$m_1 v_0 = m_1 v_{Ax} + m_2 v_{Bx}$。

よって、イは$m_1 v_0$、ウは$m_1 v_{Ax} + m_2 v_{Bx}$。

y成分：衝突前のy方向の運動量は0であり、衝突後のy方向の運動量は $m_1 v_{Ay} + m_2 v_{By}$ である。したがって、

$0 = m_1 v_{Ay} + m_2 v_{By}$。

よって、エは$0$、オは$m_1 v_{Ay} + m_2 v_{By}$。

$tan \theta_B = 1$の場合、$v_{By} = v_{Bx}$ である。

したがって、力は $v_{Bx}$。

これを式(2)に代入すると、 $0 = m_1 v_{Ay} + m_2 v_{Bx}$より、$v_{Bx} = -\frac{m_1}{m_2}v_{Ay}$。

したがって、キは$-\frac{m_1}{m_2}v_{Ay}$。

$v_{Bx} = -\frac{m_1}{m_2}v_{Ay}$を式(1)に代入すると、 $m_1 v_0 = m_1 v_{Ax} + m_2 (-\frac{m_1}{m_2}v_{Ay})$より、 $m_1 v_0 = m_1 v_{Ax} - m_1 v_{Ay}$。両辺を$m_1$で割ると、$v_0 = v_{Ax} - v_{Ay}$。

したがって、クは$v_{Ax} - v_{Ay}$。

$tan \theta_A = \frac{1}{\sqrt{3}}$ の場合、$v_{Ay} = \frac{1}{\sqrt{3}} v_{Ax}$となる。

$v_0 = v_{Ax} - v_{Ay}$に代入すると、$v_0 = v_{Ax} - \frac{1}{\sqrt{3}} v_{Ax} = (1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) v_{Ax}$。

したがって、$v_{Ax} = \frac{v_0}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}v_0}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}v_0 = \frac{3+\sqrt{3}}{2}v_0$。

したがって、ケは$\frac{3+\sqrt{3}}{2}v_0$。

3. 最終的な答え

ア: 運動量保存則

イ: $m_1 v_0$

ウ: $m_1 v_{Ax} + m_2 v_{Bx}$

エ: 0

オ: $m_1 v_{Ay} + m_2 v_{By}$

カ: $v_{Bx}$

キ: $-\frac{m_1}{m_2}v_{Ay}$

ク: $v_{Ax} - v_{Ay}$

ケ: $\frac{3+\sqrt{3}}{2}v_0$