問題は、$\frac{12}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}$ を計算することです。ただし、前の問題[1]の結果を利用するように指示されていますが、[1]の結果が与えられていません。ここでは、[1]の結果がないものとして、この式を計算します。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{12}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}$ を計算することです。ただし、前の問題[1]の結果を利用するように指示されていますが、[1]の結果が与えられていません。ここでは、[1]の結果がないものとして、この式を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母の有理化を行います。

$\sqrt{2} + \sqrt{3} = a$ と置くと、分母は $a + \sqrt{5}$ となります。これに $a - \sqrt{5}$ をかけると有理化できます。つまり、 $(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{12}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{12}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}} \times \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}}$

$=\frac{12(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}$

$=\frac{12(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})}{(2 + 2\sqrt{6} + 3) - 5}$

$=\frac{12(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})}{5 + 2\sqrt{6} - 5}$

$=\frac{12(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})}{2\sqrt{6}}$

$=\frac{6(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})}{\sqrt{6}}$

次に、分母をさらに有理化するために、分子と分母に $\sqrt{6}$ をかけます。

$=\frac{6\sqrt{6}(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})}{6}$

$=\sqrt{6}(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})$

$=\sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{30}$

$=2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{30}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{30}$