2次関数 $y = -x^2 + 4ax + 4a$ の最大値 $m$ を $a$ で表し、$a$ の関数 $m$ の最小値とそのときの $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 4ax + 4a$ の最大値 $m$ を $a$ で表し、$a$ の関数 $m$ の最小値とそのときの $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4ax + 4a$

$y = -(x^2 - 4ax) + 4a$

$y = -(x^2 - 4ax + 4a^2 - 4a^2) + 4a$

$y = -(x - 2a)^2 + 4a^2 + 4a$

したがって、2次関数の頂点は $(2a, 4a^2 + 4a)$ となります。

上に凸なグラフなので、最大値は頂点の $y$ 座標になります。

よって、$m = 4a^2 + 4a$ となります。

次に、$m = 4a^2 + 4a$ の最小値を求めます。$m$ を平方完成します。

$m = 4(a^2 + a)$

$m = 4(a^2 + a + \frac{1}{4} - \frac{1}{4})$

$m = 4(a + \frac{1}{2})^2 - 1$

したがって、$m$ は $a = -\frac{1}{2}$ のとき最小値 $-1$ をとります。

3. 最終的な答え

$m = 4a^2 + 4a$

$m$ の最小値は $-1$ であり、そのときの $a$ の値は $-\frac{1}{2}$ である。