与えられた2変数多項式 $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 5y - 4$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 5y - 4$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた多項式の $x$ と $y$ に関する部分に着目して、$2x^2 + xy - y^2$ を因数分解することを試みます。

$2x^2 + xy - y^2 = (2x - y)(x + y)$ となります。

次に、与式を $(2x - y)(x + y) + 7x - 5y - 4$ と書き換えます。

ここで、$2x - y = A$ および $x + y = B$ とおくと、与式は $AB + 7x - 5y - 4$ となります。

$x$ と $y$ を $A$ と $B$ で表すことを考えます。

$A = 2x - y$ と $B = x + y$ から $A + B = 3x$ なので、$x = \frac{A+B}{3}$ となります。

また、 $2B - A = 2(x+y) - (2x-y) = 3y$ なので、$y = \frac{2B - A}{3}$ となります。

したがって、$7x - 5y - 4 = 7 \cdot \frac{A+B}{3} - 5 \cdot \frac{2B - A}{3} - 4 = \frac{7A + 7B - 10B + 5A}{3} - 4 = \frac{12A - 3B}{3} - 4 = 4A - B - 4$ となります。

元の式は $AB + 4A - B - 4$ となります。

これを因数分解すると、

$AB + 4A - B - 4 = A(B + 4) - (B + 4) = (A - 1)(B + 4)$ となります。

$A = 2x - y$ および $B = x + y$ を代入すると、

$(2x - y - 1)(x + y + 4)$ となります。

3. 最終的な答え

$(2x - y - 1)(x + y + 4)$