関数 $y = ax^2 - 6ax + b$ ($0 \le x \le 4$) の最大値が8、最小値が2となるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。ただし、$a < 0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2 - 6ax + b$ ($0 \le x \le 4$) の最大値が8、最小値が2となるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。ただし、$a < 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = a(x^2 - 6x) + b = a(x^2 - 6x + 9 - 9) + b = a(x-3)^2 - 9a + b$

したがって、この2次関数の軸は $x = 3$ です。$a<0$なので、このグラフは上に凸の放物線になります。

定義域 $0 \le x \le 4$ における最大値は、軸 $x=3$ が定義域に含まれているので、$x=3$ のときに最大値をとります。よって、

$-9a + b = 8$ (1)

最小値は、定義域の端点 $x=0$ または $x=4$ でとります。

$x=0$ のとき $y = b$

$x=4$ のとき $y = 16a - 24a + b = -8a + b$

$b < -8a + b$　なので、$y=b$ が最小値になります。

したがって、$b = 2$ (2)

(1), (2)より、

$-9a + 2 = 8$

$-9a = 6$

$a = -\frac{2}{3}$

これは $a < 0$ の条件を満たします。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{2}{3}$, $b = 2$