$a, b$ を実数の定数とする。2次関数 $f(x) = x^2 - ax + 2b$ について、$f(1) = 1$ である。このとき、次の問いに答えよ。 (1) $b$ を $a$ を用いて表せ。 (2) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表せ。 (3) $a = 2$ のとき、$-1 \le x \le 3$ における関数 $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。 (4) $-1 \le x \le 3$ において関数 $f(x)$ の最大値が 6 となるような $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ を実数の定数とする。2次関数 $f(x) = x^2 - ax + 2b$ について、$f(1) = 1$ である。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $b$ を $a$ を用いて表せ。

(2) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表せ。

(3) $a = 2$ のとき、$-1 \le x \le 3$ における関数 $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

(4) $-1 \le x \le 3$ において関数 $f(x)$ の最大値が 6 となるような $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$f(1) = 1$ より、

$f(1) = 1^2 - a(1) + 2b = 1 - a + 2b = 1$

$2b = a$

$b = \frac{a}{2}$

(2)

$f(x) = x^2 - ax + 2b = x^2 - ax + a$

平方完成する。

$f(x) = (x - \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 + a = (x - \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} + a$

頂点の座標は $(\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + a)$

(3)

$a = 2$ のとき、$f(x) = x^2 - 2x + 4$

$f(x) = (x - 1)^2 - 1 + 4 = (x - 1)^2 + 3$

頂点の座標は $(1, 3)$ で、下に凸の放物線。

$-1 \le x \le 3$ の範囲で考える。

軸 $x = 1$ は範囲内にある。

$x = 1$ のとき、最小値 $f(1) = 3$

$x = -1$ のとき、$f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 4 = 1 + 2 + 4 = 7$

$x = 3$ のとき、$f(3) = 3^2 - 2(3) + 4 = 9 - 6 + 4 = 7$

最大値は $7$ ($x = -1, 3$)、最小値は $3$ ($x = 1$)

(4)

$f(x) = (x - \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} + a$

頂点の $x$ 座標は $x = \frac{a}{2}$

$-1 \le x \le 3$ の範囲を考える。

(i) $\frac{a}{2} < -1$ つまり $a < -2$ のとき

$x = -1$ で最大値をとる。

$f(-1) = (-1)^2 - a(-1) + 2b = 1 + a + a = 1 + 2a = 6$

$2a = 5$

$a = \frac{5}{2}$

これは $a < -2$ を満たさないので不適。

(ii) $-1 \le \frac{a}{2} \le 3$ つまり $-2 \le a \le 6$ のとき

$x = -1$ または $x = 3$ で最大値をとる。

$f(-1) = 1 + 2a$

$f(3) = 9 - 3a + a = 9 - 2a$

$1 + 2a = 6$ より $a = \frac{5}{2}$

$9 - 2a = 6$ より $2a = 3$ つまり $a = \frac{3}{2}$

$a = \frac{5}{2}$ と $a = \frac{3}{2}$ は $-2 \le a \le 6$ を満たす。

(iii) $\frac{a}{2} > 3$ つまり $a > 6$ のとき

$x = 3$ で最大値をとる。

$f(3) = 9 - 2a = 6$

$2a = 3$

$a = \frac{3}{2}$

これは $a > 6$ を満たさないので不適。

3. 最終的な答え

(1) $b = \frac{a}{2}$

(2) $(\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + a)$

(3) 最大値 $7$ ($x = -1, 3$)、最小値 $3$ ($x = 1$)

(4) $a = \frac{3}{2}, \frac{5}{2}$