与えられた数列の第k項をkの式で表し、初項から第n項までの和 $S_n$ を求める問題です。与えられた数列は、1, 1+2, 1+2+3, ..., 1+2+3+...+n, ... という形をしています。

1. 問題の内容

与えられた数列の第k項をkの式で表し、初項から第n項までの和 $S_n$ を求める問題です。与えられた数列は、1, 1+2, 1+2+3, ..., 1+2+3+...+n, ... という形をしています。

2. 解き方の手順

* **ステップ1: 第k項 $a_k$ を求める**

数列の第k項 $a_k$ は、1からkまでの自然数の和です。したがって、

$a_k = 1 + 2 + 3 + \cdots + k = \sum_{i=1}^{k} i$

等差数列の和の公式を用いると、

$a_k = \frac{k(k+1)}{2}$

* **ステップ2: 和 $S_n$ を求める**

初項から第n項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2}$

$S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$

$S_n = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k \right)$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ および $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用いると、

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right)$

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{2n+1}{6} + \frac{1}{2} \right)$

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{2n+1+3}{6} \right)$

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{2n+4}{6} \right)$

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+4)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

3. 最終的な答え

第k項 $a_k = \frac{k(k+1)}{2}$

初項から第n項までの和 $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$