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$x$ の2次方程式 $x^2 - (a+2)x + a^2 + \frac{5}{2}a - 5 = 0$ が実数解 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha \le \beta$) を持つとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a$ の取り得る値の範囲を求め、$\beta - \alpha$ を $a$ を用いて表し、その最大値を求めます。 (2) $\alpha + \beta = a + 9$, $\alpha\beta = a^2 + \frac{10}{11} a - 12$ を用いて、$\alpha^2 + \beta^2$ の取り得る値の範囲を求めます。

代数学二次方程式解の公式判別式最大値最小値二次関数
2025/6/18

1. 問題の内容

xx の2次方程式 x2−(a+2)x+a2+52a−5=0x^2 - (a+2)x + a^2 + \frac{5}{2}a - 5 = 0 が実数解 α\alpha, β\beta (α≤β\alpha \le \beta) を持つとき、以下の問いに答える問題です。
(1) aa の取り得る値の範囲を求め、β−α\beta - \alpha を aa を用いて表し、その最大値を求めます。
(2) α+β=a+9\alpha + \beta = a + 9, αβ=a2+1011a−12\alpha\beta = a^2 + \frac{10}{11} a - 12 を用いて、α2+β2\alpha^2 + \beta^2 の取り得る値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)
与えられた2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 D≥0D \ge 0 であることです。
D=(a+2)2−4(a2+52a−5)=a2+4a+4−4a2−10a+20=−3a2−6a+24≥0D = (a+2)^2 - 4(a^2 + \frac{5}{2}a - 5) = a^2 + 4a + 4 - 4a^2 - 10a + 20 = -3a^2 - 6a + 24 \ge 0
3a2+6a−24≤03a^2 + 6a - 24 \le 0
a2+2a−8≤0a^2 + 2a - 8 \le 0
(a+4)(a−2)≤0(a+4)(a-2) \le 0
したがって、aa の取り得る範囲は −4≤a≤2-4 \le a \le 2 です。よって、1に入る数字は4です。
次に、解と係数の関係より、α+β=a+2\alpha + \beta = a + 2 および αβ=a2+52a−5\alpha\beta = a^2 + \frac{5}{2}a - 5 です。
β−α=(α+β)2−4αβ=(a+2)2−4(a2+52a−5)=a2+4a+4−4a2−10a+20=−3a2−6a+24\beta - \alpha = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \sqrt{(a+2)^2 - 4(a^2 + \frac{5}{2}a - 5)} = \sqrt{a^2 + 4a + 4 - 4a^2 - 10a + 20} = \sqrt{-3a^2 - 6a + 24}
したがって、β−α=−3a2−6a+24\beta - \alpha = \sqrt{-3a^2 - 6a + 24} です。-3a^2-6a+24 = -3(a^2 + 2a) + 24 = -3((a+1)^2 -1) + 24 = -3(a+1)^2 + 3 + 24 = -3(a+1)^2 + 27$.
−4≤a≤2-4 \le a \le 2 の範囲で −3(a+1)2+27-3(a+1)^2 + 27 の最大値を求めます。
a=−1a = -1 のとき最大値 2727 をとります。
β−α\beta - \alpha の最大値は 27=33\sqrt{27} = 3\sqrt{3} となります。よって、7に入る数字は3で、8に入る数字は3です。
3に入る数字は-3、4に入る数字は-6、5に入る数字は2、6に入る数字は4です。
(2)
α+β=a+2\alpha + \beta = a + 2 であるから、9に入る数字は2。αβ=a2+52a−5\alpha \beta = a^2 + \frac{5}{2}a - 5 であるから、10に入る数字は5、11に入る数字は2、12に入る数字は5。
α2+β2=(α+β)2−2αβ=(a+2)2−2(a2+52a−5)=a2+4a+4−2a2−5a+10=−a2−a+14\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (a+2)^2 - 2(a^2 + \frac{5}{2}a - 5) = a^2 + 4a + 4 - 2a^2 - 5a + 10 = -a^2 - a + 14
−4≤a≤2-4 \le a \le 2 の範囲で −a2−a+14-a^2 - a + 14 の取り得る値を求めます。
−a2−a+14=−(a2+a)+14=−((a+12)2−14)+14=−(a+12)2+14+14=−(a+12)2+574-a^2 - a + 14 = -(a^2 + a) + 14 = -( (a + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + 14 = -(a + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 14 = -(a + \frac{1}{2})^2 + \frac{57}{4}.
a=−12a = -\frac{1}{2} のとき最大値 574=14.25\frac{57}{4} = 14.25 をとります。
a=−4a = -4 のとき、−(−4)2−(−4)+14=−16+4+14=2-(-4)^2 - (-4) + 14 = -16 + 4 + 14 = 2
a=2a = 2 のとき、−(2)2−(2)+14=−4−2+14=8-(2)^2 - (2) + 14 = -4 - 2 + 14 = 8
よって、2≤α2+β2≤5742 \le \alpha^2 + \beta^2 \le \frac{57}{4}
13: 2
14: 5
15: 7
16: 4

3. 最終的な答え

(1)
1: 4
3: -3
4: -6
5: 2
6: 4
7: 3
8: 3
(2)
9: 2
10: 5
11: 2
12: 5
13: 2
14: 5
15: 7
16: 4

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