$m$ を定数とする。二次方程式 $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ の解の種類を判別せよ。

1. 問題の内容

$m$ を定数とする。二次方程式 $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ の解の種類を判別せよ。

2. 解き方の手順

二次方程式の解の種類は判別式 $D$ によって判別できます。

$D > 0$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$D = 0$ のとき、重解（実数解）を持つ。

$D < 0$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

与えられた二次方程式 $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ において、$a = 1, b = -2m, c = m + 2$ です。

したがって、判別式 $D$ は

$D = (-2m)^2 - 4(1)(m + 2) = 4m^2 - 4m - 8 = 4(m^2 - m - 2) = 4(m - 2)(m + 1)$

となります。

$D > 0$ となるのは、$4(m - 2)(m + 1) > 0$ より $(m - 2)(m + 1) > 0$ なので、$m < -1$ または $m > 2$ のときです。

$D = 0$ となるのは、$4(m - 2)(m + 1) = 0$ より $(m - 2)(m + 1) = 0$ なので、$m = -1$ または $m = 2$ のときです。

$D < 0$ となるのは、$4(m - 2)(m + 1) < 0$ より $(m - 2)(m + 1) < 0$ なので、$-1 < m < 2$ のときです。

3. 最終的な答え

$m < -1$ または $m > 2$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$m = -1$ または $m = 2$ のとき、重解を持つ。

$-1 < m < 2$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。