3次方程式 $2x^3 + ax^2 - 4x + b = 0$ が $x=1$ を2重解として持つとき、定数 $a, b$ の値と、他の解 $\alpha$ を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 + ax^2 - 4x + b = 0$ が $x=1$ を2重解として持つとき、定数 $a, b$ の値と、他の解 $\alpha$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x=1$ が2重解であることから、方程式は $(x-1)^2$ を因数に持つことがわかります。

したがって、$2x^3 + ax^2 - 4x + b = (x-1)^2 (cx + d)$ の形に変形できるはずです。

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ なので、$2x^3 + ax^2 - 4x + b = (x^2 - 2x + 1)(cx + d) = cx^3 + (d-2c)x^2 + (c-2d)x + d$ となります。

係数を比較すると次のようになります。

* $x^3$ の係数：$c = 2$

* $x^2$ の係数：$a = d - 2c$

* $x$ の係数：$-4 = c - 2d$

* 定数項：$b = d$

$c = 2$ を $-4 = c - 2d$ に代入すると、$-4 = 2 - 2d$ より $2d = 6$ となり、$d = 3$ を得ます。

$d = b$ より、$b = 3$ が求まります。

$a = d - 2c = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$ より、$a = -1$ が求まります。

したがって、方程式は $2x^3 - x^2 - 4x + 3 = 0$ となります。

$x=1$ が重解なので、$(x-1)^2$ で割り切れるはずです。

$2x^3 - x^2 - 4x + 3 = (x-1)^2 (2x+3)$ と因数分解できます。

したがって、残りの解は $2x+3 = 0$ より $x = -\frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 3$

$\alpha = -\frac{3}{2}$