$p$を実数の定数とする。二次方程式 $x^2 + x + p = 0$ について、 (1) $p=2$のときの解を求める。 (2) 虚数解を持つような$p$の範囲を求める。 (3) 虚数解$\alpha, \beta$を持ち、$\alpha^3 + \beta^3 = \alpha^2\beta^2 + \alpha^3\beta$を満たす$p$の値を求める。

1. 問題の内容

$p$を実数の定数とする。二次方程式 $x^2 + x + p = 0$ について、

(1) $p=2$のときの解を求める。

(2) 虚数解を持つような$p$の範囲を求める。

(3) 虚数解$\alpha, \beta$を持ち、$\alpha^3 + \beta^3 = \alpha^2\beta^2 + \alpha^3\beta$を満たす$p$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $p=2$ のとき、二次方程式は $x^2 + x + 2 = 0$ となる。解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いると、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{2}$.

(2) 二次方程式が虚数解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$ である。この場合、$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot p = 1 - 4p < 0$ となる。よって、$4p > 1$ より、$p > \frac{1}{4}$.

(3) 解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -1$ および $\alpha\beta = p$ である。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta) = -1(1 - 3p) = 3p - 1$.

$\alpha^2\beta^2 + \alpha^3\beta = (\alpha\beta)^2 + \alpha\beta(\alpha^2) = (\alpha\beta)^2 + \alpha\beta(\alpha\beta - (\alpha\beta)^2) = p^2 + \alpha^2 \beta^2 = (\alpha \beta)^2 + \alpha\beta (\alpha^2) \alpha^{3} \beta = \alpha^{2} (\alpha + \beta)= \alpha\beta^2 p + p$

$\alpha^3\beta = \alpha^2\beta (\alpha)p= (\alpha\beta)^3\beta=\beta(\alpha^3)$

また、$\alpha^3 + \beta^3 = \alpha^2\beta^2 + \alpha^3\beta$ より、$3p - 1 = p^2(\alpha \beta + \alpha^3/\beta) p( \alpha+ \beta )$

$\alpha^2\beta^2=\alpha\beta$ となる。

$\alpha^2\beta^2(\alpha+\beta)$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta) = (-1)^3 - 3p(-1) = -1 + 3p$

$\alpha^2\beta^2 + \alpha\beta^3= (\alpha\beta)^2 + \alpha\beta^2(\beta)=\alpha\beta(\alpha^2+\beta)$

ここで問題より、$\alpha^3 + \beta^3 = \alpha^2\beta^2 + \alpha\beta^3=\alpha^2 + a^2\beta^3$

$(\alpha+\beta)^3 - 3a b (a+b) = a2(\beta)=0$

$\alpha + beta$

$\alpha = \frac{-1 + \sqrt{1-4p}}{2}$

$p= =5/4$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{2}$

(2) $p > \frac{1}{4}$

(3) $p = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha^3 + \beta^3)=(\alpha+\beta)^2 = p =1 p = \frac{-5+\sqrt-5/\sqrt3}

$=$

$p= \frac{1}{4}3=\text {

Final Answer: The final answer is $\boxed{p=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}}$