2つの自然数 $a$, $b$ について、$\sqrt{3a}$ と $\sqrt{5b}$ がともに自然数であり、$\sqrt{3a} = \sqrt{5b}$ が成り立つ。このとき、最小の $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの自然数 $a$, $b$ について、$\sqrt{3a}$ と $\sqrt{5b}$ がともに自然数であり、$\sqrt{3a} = \sqrt{5b}$ が成り立つ。このとき、最小の $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件 $\sqrt{3a} = \sqrt{5b}$ を2乗して、

$3a = 5b$

を得る。$a$ と $b$ は自然数なので、$3a$ は $3$ の倍数であり、$5b$ は $5$ の倍数である。

$3a = 5b$ を満たす最小の $a$ と $b$ を求めるには、$3a$ と $5b$ が共通の倍数である必要がある。

$3$ と $5$ の最小公倍数を考えると、これは $15$ である。

したがって、$3a = 15$ と $5b = 15$ を満たす $a$ と $b$ が最小の $a$ と $b$ の値となる。

$3a = 15$ より $a = \frac{15}{3} = 5$

$5b = 15$ より $b = \frac{15}{5} = 3$

よって、最小の $a$ は $5$ であり、最小の $b$ は $3$ である。

このとき、$\sqrt{3a} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}$ と $\sqrt{5b} = \sqrt{5 \times 3} = \sqrt{15}$ となり、$\sqrt{3a}$ と $\sqrt{5b}$ は自然数にならない。問題文に「$\sqrt{3a}$, $\sqrt{5b}$がともに自然数となり」とあるので、$\sqrt{3a}$と$\sqrt{5b}$はそれぞれ自然数にならなければならない。

$3a = 5b = k^2$ ($k$は自然数)と表せる。

$a = \frac{k^2}{3}$, $b = \frac{k^2}{5}$

$a$と$b$が自然数であるためには、$k^2$は$3$の倍数かつ$5$の倍数である必要がある。すなわち、$k^2$は$15$の倍数である必要がある。

$k^2$が$15$の倍数になる最小の$k$は、$k = \sqrt{15n}$ ($n$は自然数)となり、最小の$n$は$15$となるので$k=15$となる。

$k=15$のとき、$a = \frac{15^2}{3} = \frac{225}{3} = 75$

$b = \frac{15^2}{5} = \frac{225}{5} = 45$

このとき、$\sqrt{3a} = \sqrt{3 \times 75} = \sqrt{225} = 15$

$\sqrt{5b} = \sqrt{5 \times 45} = \sqrt{225} = 15$

3. 最終的な答え

$a = 75$

$b = 45$