行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & c \end{pmatrix}$ に対して、$A^2 = O$ となるための条件を求める問題です。ここで $O$ は零行列を表します。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & c \end{pmatrix}$ に対して、$A^2 = O$ となるための条件を求める問題です。ここで $O$ は零行列を表します。

2. 解き方の手順

まず、$A^2$ を計算します。

$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & c \end{pmatrix}$

$A^2 = \begin{pmatrix} 0 \times 0 + a \times b & 0 \times a + a \times c \\ b \times 0 + c \times b & b \times a + c \times c \end{pmatrix}$

$A^2 = \begin{pmatrix} ab & ac \\ bc & ab + c^2 \end{pmatrix}$

$A^2 = O$ となるためには、すべての成分が0である必要があります。したがって、

$ab = 0$

$ac = 0$

$bc = 0$

$ab + c^2 = 0$

$ab = 0$ および $ab + c^2 = 0$ より、$c^2 = 0$ なので $c = 0$ となります。

$ac = 0$ および $bc = 0$ は $c=0$ より、常に成り立ちます。

$ab = 0$ より、$a = 0$ または $b = 0$ です。

したがって、$A^2 = O$ となる条件は $c = 0$ かつ ($a = 0$ または $b = 0$) です。

3. 最終的な答え

$c = 0$ かつ $ab = 0$

すなわち、$c = 0$ かつ ($a = 0$ または $b = 0$)