行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列 $X, Y$ を求める問題です。 (1) $3X - 2A = 5(X - 2B) + 4A$ を満たす行列 $X$ (2) $3(X - A) + 2(X - B) = 8(-A + B)$ を満たす行列 $X$ (3) $X + Y = 2A$, $X - Y = 4B$ を満たす行列 $X, Y$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列 $X, Y$ を求める問題です。

(1) $3X - 2A = 5(X - 2B) + 4A$ を満たす行列 $X$

(2) $3(X - A) + 2(X - B) = 8(-A + B)$ を満たす行列 $X$

(3) $X + Y = 2A$, $X - Y = 4B$ を満たす行列 $X, Y$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた方程式を変形して $X$ について解きます。

$3X - 2A = 5(X - 2B) + 4A$

$3X - 2A = 5X - 10B + 4A$

$-2X = 6A - 10B$

$X = -3A + 5B$

ここで、$A$ と $B$ の行列を代入して計算します。

$X = -3 \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -5 & 1 \end{pmatrix} + 5 \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} 0 & -9 \\ 15 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 35 & -15 \\ 20 & 10 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} 35 & -24 \\ 35 & 7 \end{pmatrix}$

(2)

与えられた方程式を変形して $X$ について解きます。

$3(X - A) + 2(X - B) = 8(-A + B)$

$3X - 3A + 2X - 2B = -8A + 8B$

$5X = -5A + 10B$

$X = -A + 2B$

ここで、$A$ と $B$ の行列を代入して計算します。

$X = - \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -5 & 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 5 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 & -6 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} 14 & -9 \\ 13 & 3 \end{pmatrix}$

(3)

与えられた連立方程式を解きます。

$X + Y = 2A$

$X - Y = 4B$

2つの式を足し合わせると、

$2X = 2A + 4B$

$X = A + 2B$

2つの式を引き算すると、

$2Y = 2A - 4B$

$Y = A - 2B$

$X = A + 2B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -5 & 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -5 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 & -6 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & -3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$

$Y = A - 2B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -5 & 1 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -5 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 14 & -6 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14 & 9 \\ -13 & -3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $X = \begin{pmatrix} 35 & -24 \\ 35 & 7 \end{pmatrix}$

(2) $X = \begin{pmatrix} 14 & -9 \\ 13 & 3 \end{pmatrix}$

(3) $X = \begin{pmatrix} 14 & -3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$, $Y = \begin{pmatrix} -14 & 9 \\ -13 & -3 \end{pmatrix}$