以下の連立方程式を解きます。 $x - y = \sqrt{2}$ $x^2 - y^2 = 4$

1. 問題の内容

以下の連立方程式を解きます。

$x - y = \sqrt{2}$

$x^2 - y^2 = 4$

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - y^2$ を因数分解します。

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

次に、連立方程式の2番目の式に、因数分解した式を代入します。

$(x - y)(x + y) = 4$

連立方程式の1番目の式 $x - y = \sqrt{2}$ を代入します。

$\sqrt{2}(x + y) = 4$

両辺を $\sqrt{2}$ で割ります。

$x + y = \frac{4}{\sqrt{2}}$

分母を有理化します。

$x + y = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

これで、$x + y = 2\sqrt{2}$ が得られました。

最初の式 $x - y = \sqrt{2}$ と合わせて、新しい連立方程式を解きます。

$x - y = \sqrt{2}$

$x + y = 2\sqrt{2}$

2つの式を足し合わせます。

$(x - y) + (x + y) = \sqrt{2} + 2\sqrt{2}$

$2x = 3\sqrt{2}$

両辺を2で割ります。

$x = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$x - y = \sqrt{2}$ に $x = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ を代入します。

$\frac{3\sqrt{2}}{2} - y = \sqrt{2}$

$y$ について解きます。

$y = \frac{3\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{2\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{3\sqrt{2}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$