与えられた式 $\frac{4(3+\sqrt{3})}{4\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}$ を簡略化し、$\frac{\sqrt{3}}{2}$ になることを示してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{4(3+\sqrt{3})}{4\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}$ を簡略化し、$\frac{\sqrt{3}}{2}$ になることを示してください。

2. 解き方の手順

まず、式を簡略化するために、分子と分母をそれぞれ計算します。

分子は $4(3+\sqrt{3}) = 12 + 4\sqrt{3}$となります。

分母は $4\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = 4\sqrt{12} + 4(2) = 4(2\sqrt{3}) + 8 = 8\sqrt{3} + 8$となります。

したがって、与えられた式は $\frac{12 + 4\sqrt{3}}{8\sqrt{3} + 8}$となります。

分子と分母を4で割ると、$\frac{3 + \sqrt{3}}{2\sqrt{3} + 2}$となります。

分母を有理化するために、分母と分子に $2\sqrt{3}-2$ を掛けます。

$\frac{(3+\sqrt{3})(2\sqrt{3}-2)}{(2\sqrt{3}+2)(2\sqrt{3}-2)} = \frac{6\sqrt{3} - 6 + 6 - 2\sqrt{3}}{12 - 4} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}}{2}$